Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada em relação a
da função dada:
Ou seja, a pergunta é: qual é
? Não há outras informações necessárias.
Passo 2
Usaremos uma propriedade básica das derivadas: a derivada é linear, isto é, a derivada da soma é a soma das derivadas. Em fórmula:
Aplicando ao nosso caso:
Agora calculamos cada parcela separadamente.
Passo 3
Derivada de
.
Definição pelo limite:
Fatorando
:
Sabe-se (ou pode-se ver pela série de Taylor) que
Portanto
Essa é uma propriedade clássica: a função exponencial
é igual à sua própria derivada.
Passo 4
Derivada de
usando a regra da potência (para expoentes inteiros positivos pode-se provar com o binômio).
Começando pela definição do limite:
Expandindo com o binômio de Newton:
Subtraindo
e dividindo por
:
Tomando o limite
os termos com
desaparecem, sobrando
Isto é a regra da potência: para
inteiro positivo,
.
Passo 5
Somando as derivadas obtidas em \