Calcule.
\frac{d}{d x}\left(e^{x}+x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da função dada:
f(x)=e^{x}+x^{4}.
Ou seja, a pergunta é: qual é \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}+x^{4}\bigr)? Não há outras informações necessárias.

Passo 2

Usaremos uma propriedade básica das derivadas: a derivada é linear, isto é, a derivada da soma é a soma das derivadas. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Aplicando ao nosso caso:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+x^{4}\bigr)=\frac{d}{dx}e^{x}+\frac{d}{dx}x^{4}.
Agora calculamos cada parcela separadamente.

Passo 3

Derivada de \,e^{x}.
Definição pelo limite:
\frac{d}{dx}e^{x}=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}.
Fatorando e^{x}:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Sabe-se (ou pode-se ver pela série de Taylor) que
\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=1.
Portanto
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\cdot 1=e^{x}.
Essa é uma propriedade clássica: a função exponencial e^{x} é igual à sua própria derivada.

Passo 4

Derivada de \,x^{4} usando a regra da potência (para expoentes inteiros positivos pode-se provar com o binômio).
Começando pela definição do limite:
\frac{d}{dx}x^{4}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}.
Expandindo com o binômio de Newton:
(x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}.
Subtraindo x^{4} e dividindo por h:
\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}=4x^{3}+6x^{2}h+4x h^{2}+h^{3}.
Tomando o limite h\to0 os termos com h desaparecem, sobrando
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
Isto é a regra da potência: para n inteiro positivo, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.

Passo 5

Somando as derivadas obtidas em \

Passo 6

\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+x^{4}\bigr)=e^{x}+4x^{3}.

Resposta

e^{x}+4x^{3}