Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
x^{3}+y^{3}=4

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{3}+y^{3}=4
e pede para calcular \dfrac{d y}{d x}. Ou seja: encontrar a derivada de y em relação a x supondo que y depende de x (mesmo que não esteja isolada).

Passo 2

Ideia principal (mini-aula sobre diferenciação implícita e regra da cadeia).
  • Na diferenciação implícita tratamos y como uma função de x: y=y(x).
  • A regra da cadeia diz que, se uma função é composta, a derivada é o produto da derivada da externa pela derivada da interna. Formalmente, se u(x)=g(h(x)) então
\frac{du}{dx}=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
  • Aplicando isso ao termo y^{3}: esse é da forma g(h)=h^{3} com h=y(x). Então
\frac{d}{dx}\big(y^{3}\big)=3y^{2}\cdot\frac{dy}{dx}.
Expliquei isso porque é o ponto chave na diferenciação implícita: quando derivar algo que depende de y, aparece \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}+y^{3}\big)=\frac{d}{dx}(4).
Agora aplico a derivada termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2} (derivada padrão de potência).
  • \dfrac{d}{dx}\big(y^{3}\big)=3y^{2}\dfrac{dy}{dx} (pela regra da cadeia, visto em Passo 2).
  • \dfrac{d}{dx}(4)=0 (derivada de constante é zero).
Portanto obtemos a equação
3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}=0.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx}. Primeiro simplifico dividindo toda a equação por 3:
x^{2}+y^{2}\frac{dy}{dx}=0.
Agora passo x^{2} para o outro lado e divido por y^{2}:
y^{2}\frac{dy}{dx}=-x^{2}
\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}.

Passo 5

Interpretação e observação prática para a prova.
  • A fórmula final é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}}. Ela vale sempre que y\neq 0.
  • Se em algum ponto da curva y=0 (o que exige x^{3}=4, isto é x=\sqrt[3]{4}), a expressão acima não é válida por divisão por zero; nesse ponto a tangente pode ser vertical (pendente indefinida). Em provas, vale verificar esses casos especiais separadamente.
  • Dica rápida para a prova: ao ver potências de y em equações implícitas, aplique imediatamente a regra da cadeia e anote o fator \dfrac{dy}{dx} que aparece.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}}

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