Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para calcular
. Ou seja: encontrar a derivada de
em relação a
supondo que
depende de
(mesmo que não esteja isolada).
Passo 2
Ideia principal (mini-aula sobre diferenciação implícita e regra da cadeia).
- Na diferenciação implícita tratamos
como uma função de : . - A regra da cadeia diz que, se uma função é composta, a derivada é o produto da derivada da externa pela derivada da interna. Formalmente, se
então
- Aplicando isso ao termo
: esse é da forma com . Então
Expliquei isso porque é o ponto chave na diferenciação implícita: quando derivar algo que depende de
, aparece
.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Agora aplico a derivada termo a termo:
-
(derivada padrão de potência). -
(pela regra da cadeia, visto em Passo 2). -
(derivada de constante é zero).
Portanto obtemos a equação
Passo 4
Isolando
. Primeiro simplifico dividindo toda a equação por
:
Agora passo
para o outro lado e divido por
:
Passo 5
Interpretação e observação prática para a prova.
- A fórmula final é
. Ela vale sempre que . - Se em algum ponto da curva
(o que exige , isto é ), a expressão acima não é válida por divisão por zero; nesse ponto a tangente pode ser vertical (pendente indefinida). Em provas, vale verificar esses casos especiais separadamente. - Dica rápida para a prova: ao ver potências de
em equações implícitas, aplique imediatamente a regra da cadeia e anote o fator que aparece.