) Calcule \frac{d y}{d x} para a relação 3 x^{4} 4 y^{2}-7 x y^{3}=4-8 y.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
3x^4\cdot4y^2 \;-\;7xy^3 \;=\;4 \;-\;8y.
Note que 3x^4\cdot4y^2=12x^4y^2. Portanto podemos reescrever
12x^4y^2 \;-\;7xy^3 = 4-8y,
e o que queremos é \dfrac{dy}{dx} usando diferenciação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x:
Para 12x^4y^2:
\frac{d}{dx}\bigl(12x^4y^2\bigr) =12\Bigl(4x^3y^2 + x^4\cdot2y\,y'\Bigr) =48x^3y^2 + 24x^4y\,y'.
Para 7xy^3:
\frac{d}{dx}\bigl(7xy^3\bigr) =7\Bigl(y^3 + x\cdot3y^2\,y'\Bigr) =7y^3 +21x\,y^2\,y'.
Para 4-8y:
\frac{d}{dx}\bigl(4-8y\bigr) =-8\,y'.

Passo 3

Substituindo na igualdade
48x^3y^2 +24x^4y\,y' \;-\;(7y^3 +21x\,y^2\,y') = -8\,y',
e agrupando termos com y' e sem y', obtemos
\bigl(24x^4y -21x\,y^2 +8\bigr)y' +48x^3y^2 -7y^3 =0.

Passo 4

Isolando y', ficamos com
y' = \frac{-48x^3y^2 +7y^3}{24x^4y -21x\,y^2 +8}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{-48x^3y^2 +7y^3}{24x^4y -21x\,y^2 +8}.

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