1. Calcule a fração de carga carregada pelas fibras em dois compósitos de fibras de vidro e matriz epóxi contendo, um deles 10 \% de fibras em volume e outro 50 \%. (Dados o módulo elasticidade para as fibras de vidro e resina epóxi 72 GPa e 3,6 \mathrm{GPa}, respectivamente).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a fração da carga total que é transportada pelas fibras em dois compósitos unidirecionais (fibras alinhadas na direção da carga) com frações volumétricas de fibras V_f=10\% e V_f=50\%. Dados fornecidos:
E_f=72\\ \mathrm{GPa}\quad\text{(módulo das fibras de vidro)}ó
E_m=3,6\\ \mathrm{GPa}\quad\text{(módulo da resina epóxi)}óó
As perguntas são: qual a fração da carga carregada pelas fibras quando V_f=0,10 e quando V_f=0,50.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (explicação didática): consideramos carregamento uniaxial paralelo às fibras e a fibra e a matriz deformam juntas — ou seja, há a condição de isotração (mesma deformação \epsilon nas fibras e na matriz). Isso acontece porque fibras e matriz estão perfeitamente aderidas; assim, quando aplicamos força ao conjunto, ambos têm a mesma \epsilon. Pela lei de Hooke (regime elástico linear):
\sigma_f = E_f\,\epsilon,\qquad \sigma_m = E_m\,\epsilon,
onde \sigma_f e \sigma_m são as tensões na fibra e na matriz. Definimos também áreas e volumes relativos: para uma seção total A, a área ocupada pelas fibras é A_f e pela matriz é A_m, com
V_f=\frac{A_f}{A},\qquad V_m=\frac{A_m}{A}=1-V_f.
Queremos a fração da força (carga) total que passa pelas fibras.

Passo 3

Derivação da expressão para a fração de carga nas fibras (passo a passo):
Força nas fibras:
F_f=\sigma_f A_f = E_f\,\epsilon\,A_f.
Força na matriz:
F_m=\sigma_m A_m = E_m\,\epsilon\,A_m.
Força total:
F=F_f+F_m = \epsilon\,(E_f A_f + E_m A_m).
A fração da carga carregada pelas fibras é
\varphi \equiv \frac{F_f}{F}=\frac{E_f\,\epsilon\,A_f}{\epsilon\,(E_f A_f + E_m A_m)}=\frac{E_f A_f}{E_f A_f + E_m A_m}.
Dividindo numerador e denominador por A (para usar frações volumétricas) obtemos a forma prática:
\varphi=\frac{E_f V_f}{E_f V_f + E_m V_m}.
Explicação: \varphi é adimensional (fração entre 0 e 1). Note que a deformação \epsilon cancela — por isso o resultado independe do nível de carga, desde que estejamos no regime elástico linear.

Passo 4

Cálculo para V_f=10\% = 0{,}10. Primeiro encontre V_m=1-V_f=0{,}90.
Calcule os termos:
E_f V_f = 72\cdot 0{,}10 = 7{,}2\\ \mathrm{GPa},
E_m V_m = 3{,}6\cdot 0{,}90 = 3{,}24\\ \mathrm{GPa}.
Somando:
E_f V_f + E_m V_m = 7{,}2 + 3{,}24 = 10{,}44\\ \mathrm{GPa}.
Agora a fração:
\varphi=\frac{7{,}2}{10{,}44}=\frac{20}{29}\approx 0{,}689655\ldots
Convertendo para porcentagem e arredondando razoavelmente:
\varphi\approx 68{,}97\%\\ (\text{aprox. }69{,}0\%).

Passo 5

Cálculo para V_f=50\% = 0{,}50. Então V_m=0{,}50.
Calcule os termos:
E_f V_f = 72\cdot 0{,}50 = 36\\ \mathrm{GPa},
E_m V_m = 3{,}6\cdot 0{,}50 = 1{,}8\\ \mathrm{GPa}.
Somando:
E_f V_f + E_m V_m = 36 + 1{,}8 = 37{,}8\\ \mathrm{GPa}.
Fração:
\varphi=\frac{36}{37{,}8}=\frac{20}{21}\approx 0{,}952381\ldots
Em porcentagem:
\varphi\approx 95{,}24\%.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: mesmo com apenas 10\% de fibras em volume, elas transportam cerca de 69\% da carga porque o módulo das fibras ( 72\\ \mathrm{GPa}) é muito maior que o da matriz ( 3{,}6\\ \mathrm{GPa}). A fórmula simples que usamos,
\varphi=\frac{E_f V_f}{E_f V_f + E_m (1-V_f)},
é prática para calcular essa fração em qualquer V_f quando a condição de isotração vale (carregamento paralelo às fibras). Guarde essa expressão — é direta e cai bastante em prova!

Resposta

Para V_f=10\%: 68{,}9655\% (exatamente \dfrac{20}{29}).\nPara V_f=50\%: 95{,}2381\% (exatamente \dfrac{20}{21}).

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