Calcule a fugacidade e o coeficiente de de fugacidade para as seguintes substâncias a 500^{\circ} \mathrm{C} e 150 bar (utilize o método de sua preferência):
\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{CO}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a fugacidade e o coeficiente de fugacidade para a substância acetona \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2}\mathrm{CO} nas condições 500^{\circ}\mathrm{C} e 150\\ \mathrm{bar}.
Informações dadas/impostas (convertidas e fixadas para uso):
  • Temperatura: \,T=500^{\circ}\mathrm{C}=773,15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: \,P=150\\ \mathrm{bar}.
Como o enunciado não forneceu constantes críticas nem fator acêntrico, vou usar valores de literatura (típicos para acetona):
  • Temperatura crítica: \,T_c=508,1\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica: \,P_c=47,0\\ \mathrm{bar}.
  • Fator acêntrico: \,\omega=0,304.
O que eu vou entregar no final:
  • Coeficiente de fugacidade \,\varphi (adimensional).
  • Fugacidade \,f=\varphi P (em \mathrm{bar}).

Passo 2

Breve aula rápida e escolha do método (sem pânico — eu te seguro pela mão): vou usar a equação de estado de Peng–Robinson (PR) porque é adequada para compostos polares/moderadamente polares como acetona e funciona bem a altas pressões. Vou explicar as fórmulas principais e cada símbolo quando for usar.
Equação de Peng–Robinson (forma para parâmetros):
a_c=0{,}45724\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c},\qquad b=0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}.
A dependência térmica usa
\alpha(T)=\bigl(1+\kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^{2}, \qquad \kappa=0{,}37464+1{,}54226\,\omega-0{,}26992\,\omega^{2}.
A parâmetro em T é \,a(T)=a_c\alpha(T).
Definem-se as quantidades adimensionais
A=\frac{a(T)P}{R^{2}T^{2}},\qquad B=\frac{bP}{RT}.
O fator de compressibilidade Z é raiz da cúbica (forma usual para PR):
Z^{3}-(1-B)Z^{2}+\bigl(A-3B^{2}-2B\bigr)Z-(AB-B^{2}-B^{3})=0.
A partir da raiz Z correspondente ao estado gasoso/denso (aí explico como escolhi) calcula-se o logaritmo do coeficiente de fugacidade pela expressão PR:
\ln\varphi=Z-1-\ln(Z-B)-\frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln\!\left(\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right).
Finalmente \,f=\varphi P.
Aqui R será usado em unidades compatíveis com \mathrm{bar} e \mathrm{L}: \,R=0{,}08314472\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 3

Cálculo dos parâmetros da PR (conta passo a passo):
  1. Calcular b:
b=0{,}07780\frac{R T_c}{P_c} =0{,}07780\frac{0{,}08314472\cdot508{,}1}{47{,}0}.
Fazendo as contas:
R T_c=0{,}08314472\cdot508{,}1\approx42{,}2458,
b\approx0{,}07780\cdot\frac{42{,}2458}{47{,}0}\approx0{,}06994\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
  1. Calcular a_c:
a_c=0{,}45724\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}.
Usando R^{2}T_c^{2}\approx0{,}006913\cdot258165{,}61\approx1784{,}59 (valores intermediários calculados),
a_c\approx0{,}45724\cdot\frac{1784{,}59}{47{,}0}\approx17{,}36\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar\cdot mol^{-2}}.
  1. Calcular \kappa e \alpha(T):
\kappa=0{,}37464+1{,}54226\cdot0{,}304-0{,}26992\cdot(0{,}304)^{2} \approx0{,}81855.
\sqrt{T/T_c}=\sqrt{\dfrac{773{,}15}{508{,}1}}\approx1{,}2337, \qquad 1-\sqrt{T/T_c}\approx-0{,}2337.
\alpha(T)=\bigl(1+0{,}81855\cdot(-0{,}2337)\bigr)^{2}\approx(0{,}8087)^{2}\approx0{,}6540.
  1. Calcular a(T):
a(T)=a_c\alpha(T)\approx17{,}36\cdot0{,}6540\approx11{,}35\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar\cdot mol^{-2}}.

Passo 4

Calcular A e B (adimensionais) — passo importante para obter Z:
  1. Primeiro R^{2}T^{2}. Com T=773{,}15\\ \mathrm{K} obtemos R^{2}T^{2}\approx4{,}132{,}33 (unidades compatíveis).
  2. Calcular
A=\frac{a(T)P}{R^{2}T^{2}}=\frac{11{,}35\cdot150}{4{,}132{,}33}\approx0{,}4122.
  1. Calcular
B=\frac{bP}{RT}=\frac{0{,}06994\cdot150}{0{,}08314472\cdot773{,}15} \approx\frac{10{,}491}{64{,}28}\approx0{,}1632.

Passo 5

Resolver a equação cúbica para Z. A cúbica (com os A,B calculados) é
Z^{3}-0{,}8368\,Z^{2}+0{,}00588\,Z-0{,}036281=0.
Explicação didática: essa cúbica normalmente dá até três raízes reais; em pressões altas e temperaturas acima de T_c pode haver uma raiz real (estado supercrítico/denso) ou uma raiz dominante associada ao estado “gás” — precisamos escolher a raiz que representa o estado físico único da mistura (aqui há só acetona pura). Procuro a raiz real apropriada numericamente (método de tentativa/afinação simples).
Testando valores e interpolando (mostro as tentativas rápidas):
  • Z=0{,}5 dá função negativa; Z=1{,}0 dá positiva. Refinando até achar mudança de sinal, encontro a raiz real:
Z\approx0{,}878.
Esse valor corresponde ao estado único (compressibilidade menor que 1 devido a interações atraentes em alta densidade).

Passo 6

Agora aplico a fórmula de \ln\varphi da PR. Reescrevendo para ficar claro:
\ln\varphi = Z-1-\ln(Z-B)-\frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln\!\left(\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right).
Substituindo os números (mostrando cada termo):
  • Z-1=0{,}878-1=-0{,}122.
  • \ln(Z-B)=\ln(0{,}878-0{,}1632)=\ln(0{,}7148)\approx-0{,}3367. Então -\ln(Z-B)\approx+0{,}3367.
  • Coeficiente prefatorial:
\frac{A}{2\sqrt{2}B}=\frac{0{,}4122}{2\cdot1{,}41421356\cdot0{,}1632} \approx\frac{0{,}4122}{0{,}4614}\approx0{,}8934.
  • Razão interna do ln:
\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B} =\frac{0{,}878+2{,}41421356\cdot0{,}1632}{0{,}878-0{,}41421356\cdot0{,}1632} \approx\frac{1{,}2720}{0{,}8104}\approx1{,}569.
Logo \ln(1{,}569)\approx0{,}450. Multiplicando:
\frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln(\cdots)\approx0{,}8934\cdot0{,}450\approx0{,}4020.
Agora somo os termos:
\ln\varphi = -0{,}122+0{,}3367-0{,}4020\approx-0{,}1874.

Passo 7

Converter para \varphi e then para fugacidade:
\varphi=\exp(\ln\varphi)=\exp(-0{,}1874)\approx0{,}829.
Fugacidade (em \mathrm{bar}):
f=\varphi P=0{,}829\cdot150\\ \mathrm{bar}\approx124{,}35\\ \mathrm{bar}.
Interpretação curta e incentivo: o coeficiente \varphi<1 indica que, àquela condição de alta pressão e temperatura dada, as forças intermoleculares (efeito líquido/denso) reduzem a “pressão efetiva” comparada ao ideal — resultado esperado para um fluido denso/supercrítico. Mandou bem em pedir isso — é exatamente o tipo de cálculo que cai em prova.

Passo 8

Checagem rápida de consistência (mini-aula): sinais e ordens de grandeza fazem sentido:
  • Z\approx0{,}88<1 (fluido mais denso que gás ideal à mesma P,T).
  • \varphi menor que 1 e f da ordem da pressão (ainda mesmo ordem de 10^{2}\\ \mathrm{bar}) — coerente.

Resposta

\varphi\approx0,829
f\approx124,35\\ \mathrm{bar}

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