Calcule a fugacidade e o coeficiente de de fugacidade para as seguintes substâncias a 500^{\circ} \mathrm{C} e 150 bar (utilize o método de sua preferência):
CO.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a fugacidade e o coeficiente de fugacidade para monóxido de carbono (CO) nas condições T=500^\circ\mathrm{C} e P=150\\ \text{bar}. Ou seja:
  • encontrar o coeficiente de fugacidade \varphi em T=500^\circ\mathrm{C} e P=150\\ \text{bar};
  • encontrar a fugacidade f=\varphi P (em \text{bar}) nas mesmas condições.
Informações que vou usar (valores físico-químicos do CO, escolhidos a partir de tabelas padrão; declaro os valores que uso):
  • Temperatura: T=500^\circ\mathrm{C}=773{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: P=150\\ \mathrm{bar}.
  • Temperatura crítica do CO: T_c=132{,}85\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica do CO: P_c=34{,}0\\ \mathrm{bar}.
  • Fator acêntrico do CO: \omega=0{,}048.
  • Constante dos gases: R=0{,}08314472\\ \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Observação: os valores de T_c, P_c e \omega foram tomados de tabelas padrão e aqui são apresentados arredondados; isso gera pequenas diferenças numéricas, mas o método e a ordem de grandeza permanecem corretos.

Passo 2

O que é fugacidade e coeficiente de fugacidade (explicação didática):
  • A fugacidade f é uma “pressão efetiva” que substitui a pressão real quando o gás não se comporta idealmente. Para um gás ideal f=P. Para gás real define-se o coeficiente de fugacidade \varphi por
f=\varphi P.
  • Assim, se \varphi>1 a “pressão efetiva” é maior que P; se \varphi<1 é menor.
  • Para calcular \varphi usamos uma equação de estado real. Aqui escolhi a equação de Peng–Robinson (PR), que é muito utilizada em engenharia por equilibrar simplicidade e precisão em altas pressões.

Passo 3

Fórmulas da equação de Peng–Robinson (PR) que vamos usar e explicação das variáveis:
  • Parâmetros da PR:
a=\;0{,}45724\;\frac{R^2 T_c^2}{P_c},\qquad b=0{,}07780\;\frac{R T_c}{P_c}.
Aqui a tem unidade \mathrm{L^2\,bar\,mol^{-2}} e b tem unidade \mathrm{L\,mol^{-1}}.
  • Correção de temperatura:
T_r=\frac{T}{T_c},\qquad m=0{,}37464+1{,}54226\,\omega-0{,}26992\,\omega^2,
\alpha=\bigl(1+m(1-\sqrt{T_r})\bigr)^2.
  • Parâmetros adimensionais na forma reduzida (úteis para a fórmula de \varphi):
A=\frac{a\alpha P}{R^2 T^2},\qquad B=\frac{bP}{RT}.
  • Polinômio cúbico em Z (fator de compressibilidade):
Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0.
As raízes reais positivas desse polinômio são os possíveis valores de Z; para gás na condição dada escolhemos a raiz gás (a maior raiz real).
  • Fórmula para \ln\varphi na PR (vai calcular \varphi):
\ln\varphi=Z-1-\ln(Z-B)-\frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln\!\left(\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right).
Explicando cada termo: Z é o fator de compressibilidade (adimensional), A e B são os adimensionais definidos acima; todas as operações são adimensionais.

Passo 4

Cálculo de T_r, m e \alpha (passo a passo numérico):
  • Reduzida:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{773{,}15}{132{,}85}\approx 5{,}820.
  • Cálculo de m:
m=0{,}37464+1{,}54226\cdot 0{,}048-0{,}26992\cdot(0{,}048)^2.
m\approx 0{,}37464+0{,}07403-0{,}00062\approx 0{,}44805.
  • Cálculo de \alpha:
\alpha=\bigl(1+m(1-\sqrt{T_r})\bigr)^2.
Primeiro \sqrt{T_r}\approx\sqrt{5{,}820}\approx 2{,}412. Então 1-\sqrt{T_r}\approx -1{,}412.
1+m(1-\sqrt{T_r})\approx 1+0{,}44805\cdot(-1{,}412)\approx 1-0{,}6329\approx 0{,}3671.
\alpha\approx(0{,}3671)^2\approx 0{,}1348.

Passo 5

Cálculo de a e b numéricos (mostrando unidades e detalhes):
  • Primeiro calcule a:
a=0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c}.
Usando R=0{,}08314472, T_c=132{,}85\\ \mathrm{K}, P_c=34{,}0\\ \mathrm{bar}:
R^2T_c^2\approx(0{,}08314472)^2\cdot(132{,}85)^2\approx 122{,}19\quad(\text{unidade: } \mathrm{L^2\,bar^2\,mol^{-2}\,K^2}\times K^2\Rightarrow \mathrm{L^2\,bar^2\,mol^{-2}}).
a\approx 0{,}45724\frac{122{,}19}{34{,}0}\approx 1{,}641\\ \mathrm{L^2\,bar\,mol^{-2}}.
  • Em seguida calcule b:
b=0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}.
RT_c=0{,}08314472\cdot132{,}85\approx 11{,}044\\ \mathrm{L\,bar\,mol^{-1}}.
b\approx 0{,}07780\frac{11{,}044}{34{,}0}\approx 0{,}02524\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.

Passo 6

Cálculo de A e B:
  • Primeiro calcule a\alpha:
a\alpha\approx 1{,}641\cdot 0{,}1348\approx 0{,}2212\\ \mathrm{L^2\,bar\,mol^{-2}}.
  • Agora
A=\frac{a\alpha P}{R^2 T^2}.
Calcule R^2T^2=(R^2)(T^2). Já tínhamos R^2\cdot T_c^2 antes; agora com T=773{,}15\\ \mathrm{K}:
R^2T^2\approx 0{,}006914\cdot(773{,}15)^2\approx 4{,}134{,}0\\ (\text{aprox.}).
Então
A\approx\frac{0{,}2212\cdot 150}{4{,}134{,}0}\approx 0{,}008024.
  • E
B=\frac{bP}{RT}=\frac{0{,}02524\cdot150}{0{,}08314472\cdot773{,}15}.
Calcule RT=0{,}08314472\cdot773{,}15\approx 64{,}246. Então
B\approx\frac{3{,}786}{64{,}246}\approx 0{,}05895.

Passo 7

Encontrar o fator de compressibilidade Z resolvendo o cúbico PR (detalhando o raciocínio numérico):
  • O polinômio é
Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0.
Com os valores calculados:
1-B\approx 0{,}94105,
A-3B^2-2B\approx 0{,}008024-3(0{,}05895)^2-2(0{,}05895)\approx -0{,}1203,
AB-B^2-B^3\approx 0{,}000473-0{,}003476-0{,}000205\approx -0{,}003208.
Então o cúbico fica numericamente aprox.
Z^3-0{,}94105Z^2-0{,}1203Z+0{,}003208=0.
  • Escolhemos a raiz gás (a maior raiz real). Para encontrar essa raiz fiz uma busca por tentativa (método simples adequado para manual): avaliei o polinômio em alguns Z próximos de 1 e usei interpolação linear. Testes rápidos:
    • Z=1{,}05 dá um valor do polinômio muito próximo de zero (próximo a -0{,}0019);
    • Z=1{,}053 dá valor um pouco positivo.
    • Interpolando entre esses pontos obtém-se
Z\approx 1{,}0515.
Esse é o Z gás (maior raiz real) para as condições dadas. Em provas, essa etapa pode ser feita por método de Newton, por calculadora científica ou por software; aqui demonstrei o procedimento de busca manual.

Passo 8

Cálculo do coeficiente de fugacidade \varphi usando a fórmula da PR (passo a passo):
  • Reescrevendo a expressão usada:
\ln\varphi=Z-1-\ln(Z-B)-\frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln\!\left(\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right).
Agora substituições numéricas:
  • Z-1\approx 1{,}0515-1=0{,}0515.
  • Z-B\approx 1{,}0515-0{,}05895=0{,}99255, então \ln(Z-B)\approx -0{,}00747.
  • Logo a primeira parte Z-1-\ln(Z-B)\approx 0{,}0515-(-0{,}00747)=0{,}05897.
  • Agora o fator multiplicador:
\frac{A}{2\sqrt{2}B}\approx\frac{0{,}008024}{2\cdot 1{,}41421356\cdot 0{,}05895}\approx 0{,}04814.
  • Argumento do último \ln:
Z+(1+\sqrt{2})B\approx 1{,}0515+2{,}41421356\cdot0{,}05895\approx 1{,}1938,
Z+(1-\sqrt{2})B\approx 1{,}0515+(-0{,}41421356)\cdot0{,}05895\approx 1{,}0271.
\ln\!\left(\frac{1{,}1938}{1{,}0271}\right)\approx \ln(1{,}1625)\approx 0{,}1505.
  • Multiplicando:
\frac{A}{2\sqrt{2}B}\cdot \ln\!\left(\cdots\right)\approx 0{,}04814\cdot 0{,}1505\approx 0{,}00724.
  • Finalmente:
\ln\varphi\approx 0{,}05897-0{,}00724=0{,}05173.
  • Então:
\varphi=\exp(0{,}05173)\approx 1{,}0531.

Passo 9

Cálculo final da fugacidade f:
f=\varphi P\approx 1{,}0531\cdot 150\\ \mathrm{bar}\approx 157{,}97\\ \mathrm{bar}\approx 158{,}0\\ \mathrm{bar}.

Passo 10

Interpretação curta e observações práticas (didática e encorajamento):
  • Resultado obtido: \varphi ligeiramente maior que 1 ( \approx1{,}05), então o gás comporta-se perto do ideal, mas a alta pressão provoca um efeito real que aumenta a “pressão efetiva” (fugacidade) acima de P.
  • Fontes de erro/variação: os valores numéricos dependem um pouco dos valores tabelados de T_c, P_c, \omega usados e do método numérico para obter Z. Em provas, use os dados fornecidos pelo enunciado ou os valores de tabela recomendado pelo professor; o procedimento é o que contei.
  • Se ficar com dúvida em alguma conta aritmética, repita os passos com calculadora científica ou software (os passos algébricos são os que importam).

Resposta

\varphi\approx 1{,}0531
f=\varphi P\approx 157{,}97\\ \mathrm{bar}

Exercícios relacionados