Determine a variação de energia livre de Gibbs quando a água líquida subresfriada vai de 20 MPa a
até 30 MPa a
:
(a) utilizando a tabela de vapor.
(b) considerando que a água se comporte como gás ideal. Qual o erro cometido na aproximação?
(a) utilizando a tabela de vapor.
(b) considerando que a água se comporte como gás ideal. Qual o erro cometido na aproximação?
Passo 1
O enunciado e os dados (já que não pede massa específica, vou trabalhar por unidade de massa: variação específica de energia livre de Gibbs, isto é,
em
). Estado inicial e final:
- Temperatura constante:
. - Pressão inicial:
- Pressão final:
O que o enunciado pede:
(a) Calcularusando a tabela de vapor (tabela de água/steam tables).
(b) Calcularsupondo água como gás ideal e avaliar o erro cometido por essa aproximação.
Passo 2
Fórmula fundamental que vamos usar (esta é uma coisa que sempre salva em provas quando
é constante):
Explicando:
é a energia livre de Gibbs total;
é o volume total;
é a entropia;
é a temperatura;
é a pressão. Para grandezas por unidade de massa substitui-se
por
(energia livre específica) e
por
(volume específico). Como o processo é isotérmico (
), a variação específica de Gibbs reduz-se a
portanto a variação entre
e
é
Interpretação prática: para isoterma, a mudança de
é a área sob a curva
versus
entre as duas pressões.
Passo 3
Estratégia numérica/prática:
- (a) Usando tabela de vapor: obter
nas pressões dadas (ou, se tabela não listar o comprimido, usar aproximação compressível do líquido). Para água líquida subresfriada (40°C e pressões muito maiores que a pressão de saturação), o volume específico varia muito pouco com . Portanto é comum usar (volume específico do líquido saturado à mesma ) como boa aproximação. Vou explicitar que peguei esse valor nas tabelas de vapor. - (b) Para gás ideal, usamos a propriedade química: para um gás ideal a energia livre específica satisfaz
, portanto
Aqui
é a constante de gás específica da substância (
). Vou calcular
em
.
Passo 4
(a) Valores colhidos na tabela de vapor (peguei da tabela padrão de propriedades da água):
- Volume específico do líquido saturado a
:
Observação didática: como a água líquida é praticamente incompressível, oem e em difere muito pouco do a . Assim, para integrar podemos usar aproximadamente constante e igual a . Isso simplifica muito e é a prática usual em termodinâmica para líquidos comprimidos em intervalos modestos de pressão.
Logo:
Substituindo os números:
Calcule:
Portanto, usando a tabela (e a aproximação usual para líquido comprimido),
Passo 5
(b) Agora supondo água como gás ideal (mesmo sabendo que isso é fisicamente inconsistente para água líquida — vamos fazer o exercício matemático pedido):
Constante específica do gás para a água (obtida por , com
e massa molar da água
):
Constante específica do gás para a água (obtida por
Para processo isotérmico de gás ideal:
Substituindo
e a razão
:
Cálculo numérico (mostrando contas):
Passo 6
Avaliação do erro da aproximação (ideal gas versus valor obtido pela tabela/liquido):
- Erro absoluto:
- Erro relativo (percentual):
Interpretação física curta e motivadora: o erro é enorme porque a hipótese de gás ideal é absurdamente inadequada para água na fase líquida — o volume específico do líquido é cerca de 2 ordens de magnitude menor que o volume que o gás ideal daria nas mesmas condições, e o comportamento compressível/ideal do gás não se aplica ao líquido. Em termos práticos: usar modelo de gás ideal para líquido leva a superestimar muito
.
Resposta
(a)
(b)
erro absoluto
(erro relativo
).