Determine a variação de energia livre de Gibbs quando a água líquida subresfriada vai de 20 MPa a 40^{\circ} \mathrm{C} até 30 MPa a 40^{\circ} \mathrm{C} :
(a) utilizando a tabela de vapor.
(b) considerando que a água se comporte como gás ideal. Qual o erro cometido na aproximação?

Passo 1

O enunciado e os dados (já que não pede massa específica, vou trabalhar por unidade de massa: variação específica de energia livre de Gibbs, isto é, \Delta g em \mathrm{J/kg}). Estado inicial e final:
  • Temperatura constante: \,T=40^\circ\mathrm{C}=313{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: \,P_1=20\\ \mathrm{MPa}=20\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão final: \,P_2=30\\ \mathrm{MPa}=30\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    O que o enunciado pede:
    (a) Calcular \Delta g usando a tabela de vapor (tabela de água/steam tables).
    (b) Calcular \Delta g supondo água como gás ideal e avaliar o erro cometido por essa aproximação.

Passo 2

Fórmula fundamental que vamos usar (esta é uma coisa que sempre salva em provas quando T é constante):
dG = V\,dP - S\,dT.
Explicando: G é a energia livre de Gibbs total; V é o volume total; S é a entropia; T é a temperatura; P é a pressão. Para grandezas por unidade de massa substitui-se G por g (energia livre específica) e V por v (volume específico). Como o processo é isotérmico ( dT=0), a variação específica de Gibbs reduz-se a
d g = v\, dP,
portanto a variação entre P_1 e P_2 é
\Delta g = \int_{P_1}^{P_2} v(T,P)\, dP.
Interpretação prática: para isoterma, a mudança de g é a área sob a curva v versus P entre as duas pressões.

Passo 3

Estratégia numérica/prática:
  • (a) Usando tabela de vapor: obter v(T,P) nas pressões dadas (ou, se tabela não listar o comprimido, usar aproximação compressível do líquido). Para água líquida subresfriada (40°C e pressões muito maiores que a pressão de saturação), o volume específico varia muito pouco com P. Portanto é comum usar v\approx v_f(T) (volume específico do líquido saturado à mesma T) como boa aproximação. Vou explicitar que peguei esse valor nas tabelas de vapor.
  • (b) Para gás ideal, usamos a propriedade química: para um gás ideal a energia livre específica satisfaz \,g(T,P)=g^\circ(T)+R T\ln\!\big(\dfrac{P}{P^\circ}\big)\,, portanto
\Delta g_{\text{ideal}}=R T\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right).
Aqui R é a constante de gás específica da substância ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Vou calcular \Delta g em \mathrm{J/kg}.

Passo 4

(a) Valores colhidos na tabela de vapor (peguei da tabela padrão de propriedades da água):
  • Volume específico do líquido saturado a 40^\circ\mathrm{C}: v_f(40^\circ\mathrm{C}) \approx 0,001008\\ \mathrm{m^3/kg}.
    Observação didática: como a água líquida é praticamente incompressível, o v em 20\\ \mathrm{MPa} e em 30\\ \mathrm{MPa} difere muito pouco do v_f a 40^\circ\mathrm{C}. Assim, para integrar \Delta g=\int_{P_1}^{P_2} v\,dP podemos usar v aproximadamente constante e igual a v_f(40^\circ\mathrm{C}). Isso simplifica muito e é a prática usual em termodinâmica para líquidos comprimidos em intervalos modestos de pressão.
    Logo:
\Delta g \approx v_f(40^\circ\mathrm{C})\,(P_2-P_1).
Substituindo os números:
\Delta g \approx 0,001008\\ \mathrm{m^3/kg}\times\big(30\times10^{6}-20\times10^{6}\big)\\ \mathrm{Pa}.
Calcule:
\Delta g \approx 0,001008\times 10\times10^{6} = 0,001008\times10^{7}=1,008\times10^{4}\\ \mathrm{J/kg}.
Portanto, usando a tabela (e a aproximação usual para líquido comprimido), \Delta g \approx 1,008\times10^{4}\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 5

(b) Agora supondo água como gás ideal (mesmo sabendo que isso é fisicamente inconsistente para água líquida — vamos fazer o exercício matemático pedido):
Constante específica do gás para a água (obtida por R=\dfrac{R_u}{M}, com R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e massa molar da água M=0{,}01801528\\ \mathrm{kg/mol}):
R \approx \dfrac{8{,}314462618}{0{,}01801528}\approx 461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Para processo isotérmico de gás ideal:
\Delta g_{\text{ideal}} = R T \ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right).
Substituindo T=313{,}15\\ \mathrm{K} e a razão P_2/P_1=30/20=1{,}5:
\Delta g_{\text{ideal}} \approx 461{,}5\times 313{,}15\times \ln(1{,}5).
Cálculo numérico (mostrando contas):
461{,}5\times 313{,}15 \approx 1,44528\times10^{5}\\ \mathrm{J/(kg)}.
\ln(1{,}5)\approx 0{,}4054651.
\Delta g_{\text{ideal}} \approx 1,44528\times10^{5}\times 0{,}4054651 \approx 5,8586\times10^{4}\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 6

Avaliação do erro da aproximação (ideal gas versus valor obtido pela tabela/liquido):
  • Erro absoluto:
\Delta g_{\text{erro,abs}} = \Delta g_{\text{ideal}} - \Delta g_{\text{tabela}} \approx 5,8586\times10^{4}-1,008\times10^{4} \approx 4,8506\times10^{4}\\ \mathrm{J/kg}.
  • Erro relativo (percentual):
\text{erro \%} = \frac{\Delta g_{\text{erro,abs}}}{\Delta g_{\text{tabela}}}\times100\% \approx \frac{4,8506\times10^{4}}{1,008\times10^{4}}\times100\%\approx 4,81\times10^{2}\%\approx 481\%.
Interpretação física curta e motivadora: o erro é enorme porque a hipótese de gás ideal é absurdamente inadequada para água na fase líquida — o volume específico do líquido é cerca de 2 ordens de magnitude menor que o volume que o gás ideal daria nas mesmas condições, e o comportamento compressível/ideal do gás não se aplica ao líquido. Em termos práticos: usar modelo de gás ideal para líquido leva a superestimar muito \Delta g.

Resposta

(a) \Delta g \approx 1,008\times10^{4}\\ \mathrm{J/kg}.
(b) \Delta g_{\text{ideal}} \approx 5,8586\times10^{4}\\ \mathrm{J/kg}; erro absoluto \approx 4,8506\times10^{4}\\ \mathrm{J/kg} (erro relativo \approx 481\%).

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