Calcule g^{\prime}(x) sendo g dada por:
g(x)=\sqrt[9]{x^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\sqrt[9]{x^{3}}.
O que se pede é calcular a derivada g^{\prime}(x).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: o índice da raiz é 9 (ímpar), e o radicando é x^{3}. Não há figura nem outras informações adicionais.

Passo 2

Vamos reescrever a função usando potências racionais, porque isso facilita a diferenciação. Lembre que, por leis de expoentes,
(a^b)^c=a^{bc}
quando as expressões estão definidas. Aplicando isso em g(x) temos
g(x)=(x^{3})^{1/9}=x^{3\cdot(1/9)}=x^{1/3}.
Aqui usei que a raiz de índice ímpar é definida para todo x\in\mathbb{R}, então a igualdade vale para todos os reais.

Passo 3

Antes de derivar, vamos revisar a regra que vamos usar — a regra da potência (power rule). Ela diz o seguinte: se
f(x)=x^{k},
onde k é um número real, então (quando a derivada existe)
f'(x)=k\,x^{k-1}.
O que isso significa: para derivar x^{k} você multiplica por k e diminui o expoente em 1. Exemplinho rápido para fixar: se f(x)=x^{2}, então f'(x)=2x^{1}=2x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência à função já simplificada g(x)=x^{1/3}. Aqui k=\tfrac{1}{3}. Usando a fórmula:
g'(x)=\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3}-1}.
Calculemos o expoente \frac{1}{3}-1:
\frac{1}{3}-1=\frac{1-3}{3}=-\frac{2}{3}.
Portanto
g'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}.

Passo 5

Vamos escrever g'(x) em uma forma com raízes, que às vezes é mais intuitiva. Lembre que x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}} e x^{2/3}=\bigl(x^{1/3}\bigr)^{2}=\sqrt[3]{x^{2}}. Assim
g'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}=\frac{1}{3\,x^{2/3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.

Passo 6

Discussão sobre domínio e o ponto x=0: a função original g(x)=\sqrt[9]{x^{3}}=x^{1/3} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Porém a expressão obtida para g'(x) usando potências, \frac{1}{3}x^{-2/3}, não é finita em x=0 porque envolve x^{-2/3} (divisão por zero). De fato, calculando o quociente diferencial em 0:
\frac{g(h)-g(0)}{h}=\frac{h^{1/3}-0}{h}=h^{-2/3}\xrightarrow[h\to0]{}+\infty.
Então a derivada não existe como número finito em x=0 — a função tem uma tangente vertical em 0.

Passo 7

Resumo final das formas úteis da derivada: para x\neq0,
g'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
Em x=0 a derivada não existe (tende a +\infty).

Resposta

\displaystyle g'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} para x\neq0.
A derivada não existe (é infinita) em x=0.