Calcule g^{\prime}(x) sendo g dada por: g(x)=\sqrt[9]{x^{3}}
Passo 1
O enunciado dá a função
g(x)=\sqrt[9]{x^{3}}.
O que se pede é calcular a derivada g^{\prime}(x).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: o índice da raiz é 9 (ímpar), e o radicando é x^{3}. Não há figura nem outras informações adicionais.
Passo 2
Vamos reescrever a função usando potências racionais, porque isso facilita a diferenciação. Lembre que, por leis de expoentes,
(a^b)^c=a^{bc}
quando as expressões estão definidas. Aplicando isso em g(x) temos
g(x)=(x^{3})^{1/9}=x^{3\cdot(1/9)}=x^{1/3}.
Aqui usei que a raiz de índice ímpar é definida para todo x\in\mathbb{R}, então a igualdade vale para todos os reais.
Passo 3
Antes de derivar, vamos revisar a regra que vamos usar — a regra da potência (power rule). Ela diz o seguinte: se
f(x)=x^{k},
onde k é um número real, então (quando a derivada existe)
f'(x)=k\,x^{k-1}.
O que isso significa: para derivar x^{k} você multiplica por k e diminui o expoente em 1. Exemplinho rápido para fixar: se f(x)=x^{2}, então f'(x)=2x^{1}=2x.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da potência à função já simplificada g(x)=x^{1/3}. Aqui k=\tfrac{1}{3}. Usando a fórmula:
g'(x)=\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3}-1}.
Calculemos o expoente \frac{1}{3}-1:
\frac{1}{3}-1=\frac{1-3}{3}=-\frac{2}{3}.
Portanto
g'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}.
Passo 5
Vamos escrever g'(x) em uma forma com raízes, que às vezes é mais intuitiva. Lembre que x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}} e x^{2/3}=\bigl(x^{1/3}\bigr)^{2}=\sqrt[3]{x^{2}}. Assim
Discussão sobre domínio e o ponto x=0: a função original g(x)=\sqrt[9]{x^{3}}=x^{1/3} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Porém a expressão obtida para g'(x) usando potências, \frac{1}{3}x^{-2/3}, não é finita em x=0 porque envolve x^{-2/3} (divisão por zero). De fato, calculando o quociente diferencial em 0: