Calcule o gradiente de f em P se
f(x, y, z)=5 x^{2}+6 z^{2}+7 x y^{2}, \quad P=(-1,3,5)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o gradiente de f no ponto P.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=5x^{2}+6z^{2}+7xy^{2}.
  • O ponto é P=(-1,3,5).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos representá-lo.
  • O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Para calcular cada derivada parcial, derivamos f em relação a uma variável mantendo as outras constantes (ou seja, tratamos as outras como números fixos).

Passo 3

Derivada parcial em relação a x.
Tomando y e z como constantes, aplicamos a regra da potência e a linearidade:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(5x^{2})=10x porque \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e 5 é constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(6z^{2})=0 porque não depende de x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(7xy^{2})=7y^{2} porque y^{2} é constante e \dfrac{d}{dx}(x)=1.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=10x+7y^{2}.

Passo 4

Derivada parcial em relação a y.
Tomando x e z como constantes:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(5x^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(6z^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(7xy^{2})=7x\cdot 2y=14xy usando a regra da potência em y^{2}.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=14xy.

Passo 5

Derivada parcial em relação a z.
Tomando x e y como constantes:
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(5x^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(6z^{2})=12z porque \dfrac{d}{dz}(z^{2})=2z e 6 é constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(7xy^{2})=0.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=12z.

Passo 6

Agora avaliamos cada componente em P=(-1,3,5).
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}(P):
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,3,5)=10\cdot(-1)+7\cdot(3)^{2}=-10+7\cdot9=-10+63=53.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}(P):
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,3,5)=14\cdot(-1)\cdot3=14\cdot(-3)=-42.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial z}(P):
\frac{\partial f}{\partial z}(-1,3,5)=12\cdot5=60.

Passo 7

Juntando as componentes, o gradiente em P é
\nabla f(P)=\bigl(53,\,-42,\,60\bigr).

Resposta

\nabla f(-1,3,5)=\bigl(53,\,-42,\,60\bigr)