Calcule o gradiente das funçōes darlas:
f) f(x, y, z) = e^(x + y + z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o gradiente da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, e o gradiente é uma ferramenta que nos dá a direção de maior crescimento da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma de suas variáveis. No nosso caso, como a função tem três variáveis ( , , ), o gradiente será um vetor com três componentes.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função é . Ao derivar em relação a , tratamos e como constantes. A derivada de em relação a é simplesmente porque a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando o mesmo raciocínio, ao derivar em relação a , obtemos novamente , já que a derivada de em relação a também é 1.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Da mesma forma que antes, a derivada de em relação a é .

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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