Calcule o gradiente
das seguintes funções,
, onde
e
é uma função não especificada de
.
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a função
. - Está definido
. - O pedido é calcular o gradiente
(ou seja, as derivadas parciais de em relação a organizadas em vetor). - Observação importante sobre domínio:
(ou seja, ), pois e as derivadas não estão definidas em .
Passo 2
Lembrete do que é o gradiente e como vamos proceder:
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor das derivadas parciais:
- Aqui
é dada em função de , que por sua vez depende de . Então vamos usar a regra da cadeia para passar de derivada em relação a para derivada em relação a .
Passo 3
Derivar
em relação a
(a mesma ideia vale para
e
):
- Escreve-se
. - Aplicando a regra da cadeia (derivada de
é multiplicada por ):
- Em notação com
isso fica
- Analogamente,
Passo 4
Derivar
usando regra da cadeia:
- A derivada de
em relação a é . - Pela regra da cadeia, para a derivada parcial em relação a
:
- Do mesmo modo:
Passo 5
Interpretação e propriedades úteis (rápido e prático):
- O gradiente aponta radialmente para fora (mesma direção do vetor posição
). - A norma do gradiente vale
(pode verificar calculando a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). - Lembre-se: tudo válido para
.
Passo 6
Exemplo numérico curto (pra fixar):
- Se
então e as derivadas parciais ficam (ou seja, ).