Calcule o gradiente \nabla f das seguintes funções, f(x, y, z) , onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e g(r) é uma função não especificada de r.
f=\ln (r).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a função f(x,y,z)=\ln(r).
  • Está definido \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O pedido é calcular o gradiente \nabla f (ou seja, as derivadas parciais de f em relação a x,y,z organizadas em vetor).
  • Observação importante sobre domínio: \;r>0 (ou seja, (x,y,z)\neq(0,0,0)), pois \ln(r) e as derivadas não estão definidas em r=0.

Passo 2

Lembrete do que é o gradiente e como vamos proceder:
  • O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Aqui f é dada em função de r, que por sua vez depende de x,y,z. Então vamos usar a regra da cadeia para passar de derivada em relação a x para derivada em relação a r.

Passo 3

Derivar r em relação a x (a mesma ideia vale para y e z):
  • Escreve-se r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
  • Aplicando a regra da cadeia (derivada de u^{1/2} é \tfrac{1}{2}u^{-1/2} multiplicada por u'):
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
  • Em notação com r isso fica
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}.
  • Analogamente,
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}.

Passo 4

Derivar f=\ln(r) usando regra da cadeia:
  • A derivada de \ln(r) em relação a r é \dfrac{d}{dr}\ln(r)=\dfrac{1}{r}.
  • Pela regra da cadeia, para a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{dr}\ln(r)\cdot\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{r}\cdot\frac{x}{r}=\frac{x}{r^{2}}.
  • Do mesmo modo:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{r^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{r^{2}}.

Passo 5

Interpretação e propriedades úteis (rápido e prático):
  • O gradiente aponta radialmente para fora (mesma direção do vetor posição (x,y,z)).
  • A norma do gradiente vale \|\nabla f\|=\dfrac{1}{r} (pode verificar calculando a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes).
  • Lembre-se: tudo válido para (x,y,z)\neq(0,0,0).

Passo 6

Exemplo numérico curto (pra fixar):
  • Se (x,y,z)=(1,2,2) então r=\sqrt{1+4+4}=3 e as derivadas parciais ficam \dfrac{1}{9},\dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9} (ou seja, \nabla f=(\tfrac{1}{9},\tfrac{2}{9},\tfrac{2}{9})).

Resposta

\nabla f=\left(\frac{x}{r^{2}},\frac{y}{r^{2}},\frac{z}{r^{2}}\right)

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