Calcule
I=\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z
onde
W=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x\right\}
Resposta: \pi / 15

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
I=\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz
onde a região W é dada por
W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le x\}.
Informações relevantes que temos:
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • A região W é o conjunto de pontos do espaço que satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}\le x.
  • O objetivo é calcular o valor numérico da integral tripla acima.

Passo 2

Interpretar geometricamente a desigualdade que define W. Vou completar o quadrado na variável x:
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le x \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x+y^{2}+z^{2}\le 0.
Agora escrevo x^{2}-x como (x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}. Assim
(x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}+y^{2}+z^{2}\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-\tfrac{1}{2})^{2}+y^{2}+z^{2}\le \tfrac{1}{4}.
Portanto W é a bola (esfera sólida) de centro (\tfrac{1}{2},0,0) e raio a=\tfrac{1}{2}:
W=\{(x,y,z)\mid (x-\tfrac{1}{2})^{2}+y^{2}+z^{2}\le (\tfrac{1}{2})^{2}\}.

Passo 3

Escolha de método e mudança de variável conveniente. Como W é uma bola cujo centro não é a origem, é muito prático transladar o sistema de coordenadas para o centro da bola. Faço a mudança de variável de translação
u = x-\tfrac{1}{2},\qquad v=y,\qquad w=z.
Nessas novas coordenadas o domínio W vira a bola centrada na origem:
u^{2}+v^{2}+w^{2}\le a^{2},\quad\text{com }a=\tfrac{1}{2}.
A tradução tem jacobiano 1, logo dx\,dy\,dz = du\,dv\,dw. Agora reescrevo o integrando em u,v,w:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(u+\tfrac{1}{2})^{2}+v^{2}+w^{2} = (u^{2}+v^{2}+w^{2}) + u + \tfrac{1}{4}.
Assim a integral original se escreve como a soma de três integrais sobre a bola de raio a centrada na origem:
I=\iiint_{B(0,a)} (u^{2}+v^{2}+w^{2})\,dV \;+\; \iiint_{B(0,a)} u\,dV \;+\; \iiint_{B(0,a)} \tfrac{1}{4}\,dV,
onde uso dV para du\,dv\,dw.

Passo 4

Exploro simetrias para anular termos: a bola B(0,a) é simétrica em relação à origem. A função u é ímpar em u (muda de sinal ao trocar u\mapsto -u), portanto sua integral sobre a bola simétrica é zero:
\iiint_{B(0,a)} u\,dV = 0.
Ficamos com
I=\iiint_{B(0,a)} (u^{2}+v^{2}+w^{2})\,dV \;+\; \tfrac{1}{4}\, \operatorname{Vol}(B(0,a)).

Passo 5

Calculo do termo de volume constante. O volume de uma bola de raio a em \mathbb{R}^{3} é
\operatorname{Vol}(B(0,a))=\tfrac{4}{3}\pi a^{3}.
Multiplicando por \tfrac{1}{4}
\iiint_{B(0,a)} \tfrac{1}{4}\,dV = \tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{4}{3}\pi a^{3} = \tfrac{1}{3}\pi a^{3}.

Passo 6

Calculo da integral \displaystyle \iiint_{B(0,a)} (u^{2}+v^{2}+w^{2})\,dV. Em coordenadas esféricas centradas na origem (variáveis \rho,\varphi,\theta com \rho\ge0, \varphi ângulo polar a partir do eixo z, e \theta azimute), tem-se:
u^{2}+v^{2}+w^{2}=\rho^{2},\qquad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Portanto
\iiint_{B(0,a)} (u^{2}+v^{2}+w^{2})\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a} \rho^{2}\cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\left(\int_{0}^{a}\rho^{4}\,d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right).
Calculo cada fator:
\int_{0}^{a}\rho^{4}\,d\rho=\frac{a^{5}}{5},\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando:
\iiint_{B(0,a)} (u^{2}+v^{2}+w^{2})\,dV = \frac{a^{5}}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{4\pi a^{5}}{5}.

Passo 7

Agora somo as duas contribuições e substituo a=\tfrac{1}{2}:
I = \frac{4\pi a^{5}}{5} + \frac{1}{3}\pi a^{3}.
Com a=\tfrac{1}{2} temos a^{5}=(\tfrac{1}{2})^{5}=\tfrac{1}{32} e a^{3}=(\tfrac{1}{2})^{3}=\tfrac{1}{8}. Assim
\frac{4\pi a^{5}}{5} = \frac{4\pi}{5}\cdot \frac{1}{32} = \frac{\pi}{40}, \qquad \frac{1}{3}\pi a^{3} = \frac{1}{3}\pi\cdot\frac{1}{8} = \frac{\pi}{24}.
Somando:
I = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi}{24} = \frac{3\pi+5\pi}{120} = \frac{8\pi}{120} = \frac{\pi}{15}.

Resposta

\dfrac{\pi}{15}

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