Calcule
onde
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
onde a região
é dada por
Informações relevantes que temos:
- A função a integrar é
. - A região
é o conjunto de pontos do espaço que satisfazem . - O objetivo é calcular o valor numérico da integral tripla acima.
Passo 2
Interpretar geometricamente a desigualdade que define
. Vou completar o quadrado na variável
:
Agora escrevo
como
. Assim
Portanto
é a bola (esfera sólida) de centro
e raio
:
Passo 3
Escolha de método e mudança de variável conveniente. Como
é uma bola cujo centro não é a origem, é muito prático transladar o sistema de coordenadas para o centro da bola. Faço a mudança de variável de translação
Nessas novas coordenadas o domínio
vira a bola centrada na origem:
A tradução tem jacobiano
, logo
. Agora reescrevo o integrando em
:
Assim a integral original se escreve como a soma de três integrais sobre a bola de raio
centrada na origem:
onde uso
para
.
Passo 4
Exploro simetrias para anular termos: a bola
é simétrica em relação à origem. A função
é ímpar em
(muda de sinal ao trocar
), portanto sua integral sobre a bola simétrica é zero:
Ficamos com
Passo 5
Calculo do termo de volume constante. O volume de uma bola de raio
em
é
Multiplicando por
dá
Passo 6
Calculo da integral
. Em coordenadas esféricas centradas na origem (variáveis
com
,
ângulo polar a partir do eixo
, e
azimute), tem-se:
Portanto
Calculo cada fator:
Multiplicando:
Passo 7
Agora somo as duas contribuições e substituo
:
Com
temos
e
. Assim
Somando: