Calcule
sendo dados:
e S é o sólido limitado superiormente pelo plano
, inferiormente pelo plano
, e lateralmente pelo cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
e
é o sólido definido por
-
(cilindro de raio 1), -
.
Vamos usar o teorema de Fubini em coordenadas cartesianas, integrando primeiro eme depois sobre a região plana .
Passo 2
Escrevemos
Como
, segue
Passo 3
Expandindo o integrando:
Note que cada termo é uma função ímpar em
ou em
por si só:
-
muda de sinal trocando (ou ), -
muda de sinal trocando , -
muda de sinal trocando .
A regiãoé o disco centrado na origem, simétrico em e . A integral de qualquer função ímpar sobre uma região simétrica é zero.
Passo 4
Portanto cada uma das integrais
,
e
vale zero, e assim
vale zero, e assim