Calcule:
\int_{0}^{1}(1+2 x)^{3} d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida de (1+2x)^3 no intervalo de 0 a 1. Vamos usar a técnica de substituição (u-substitution) para resolver.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 2x, \quad \mathrm{d}u = 2\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u.
Quando x=0, u=1. Quando x=1, u=3. Assim,
\int_{0}^{1}(1+2x)^3\,\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=3} u^3 \cdot \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^3\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Calculamos a integral em u:
\int u^3\,\mathrm{d}u = \frac{u^4}{4}.
Logo,
\frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^3\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_{1}^{3} = \frac{1}{8}\bigl[u^4\bigr]_{1}^{3}.

Passo 4

Avaliamo entre os limites:
\frac{1}{8}\bigl[3^4 - 1^4\bigr] = \frac{1}{8}(81 - 1) = \frac{80}{8} = 10.

Resposta

10

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