Calcule.
\int(5+\sin 3 x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(5+\sin(3x)\bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar expansão de binômio e identidade para \sin^{2}.

Passo 2

Expandimos o quadrado:
\bigl(5+\sin(3x)\bigr)^{2} =25 + 2\cdot5\sin(3x) + \sin^{2}(3x) =25 + 10\sin(3x) + \sin^{2}(3x).
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\int\bigl(5+\sin(3x)\bigr)^{2}dx =\int25\,dx + 10\int\sin(3x)\,dx + \int\sin^{2}(3x)\,dx.

Passo 3

Calculamos as duas primeiras integrais diretamente:
\int25\,dx = 25x + C_{1}, \quad \int\sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C_{2},
portanto
10\int\sin(3x)\,dx = -\frac{10}{3}\cos(3x) + \widetilde C.

Passo 4

Para \displaystyle \int\sin^{2}(3x)\,dx usamos a identidade
\sin^{2}u = \frac{1-\cos(2u)}{2},
com u=3x, então
\sin^{2}(3x) =\frac{1-\cos(6x)}{2},
e
\int\sin^{2}(3x)\,dx =\frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{2}\int\cos(6x)\,dx =\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\sin(6x) =\frac{x}{2} - \frac{1}{12}\sin(6x) + C_{3}.

Passo 5

Somando tudo e reunindo constantes num único C, obtemos
\int\bigl(5+\sin(3x)\bigr)^{2}dx =25x - \frac{10}{3}\cos(3x) +\Bigl(\frac{x}{2} - \frac{1}{12}\sin(6x)\Bigr) + C.
Agrupando os termos em x:
25x + \frac{x}{2} = \frac{50x + x}{2} = \frac{51}{2}x.

Resposta

\boxed{ \frac{51}{2}\,x \;-\;\frac{10}{3}\cos\bigl(3x\bigr)\;-\;\frac{1}{12}\sin\bigl(6x\bigr)\;+\;C }

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