Calcule.
\int(1-\cos 2 x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int (1 - \cos 2x)^{2}\,dx.
Este problema envolve integração de funções trigonométricas e vamos usar identidades de ângulo duplo e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, expandimos o quadrado:
(1 - \cos 2x)^{2} = 1 - 2\cos 2x + \cos^{2}2x.

Passo 3

Em seguida, aplicamos a identidade para \cos^{2}2x:
\cos^{2}2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}.
Substituindo na expansão, obtemos
(1 - \cos 2x)^{2} = 1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x.

Passo 4

Agora, integramos termo a termo.
Calculamos \displaystyle \int \frac{3}{2}\,dx = \frac{3}{2}x, \displaystyle \int (-2\cos 2x)\,dx = -2\cdot\frac{\sin2x}{2} = -\sin2x, \displaystyle \int \frac{1}{2}\cos 4x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin4x}{4} = \frac{1}{8}\sin4x.

Passo 5

Somando essas parcelas e incluindo a constante de integração C, chegamos ao resultado final.

Resposta

\frac{3}{2}x \;-\;\sin 2x \;+\;\frac{1}{8}\sin 4x \;+\;C.

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