Calcule.
\int \frac{\operatorname{tg} z}{\cos z} d z

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int \frac{\operatorname{tg} z}{\cos z}\,dz.
Vamos usar identidades trigonométricas e substituição para resolver.

Passo 2

Usando a identidade
\operatorname{tg} z = \frac{\sin z}{\cos z},
o integrando fica
\frac{\operatorname{tg} z}{\cos z} = \frac{\sin z}{\cos^2 z}.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = \cos z, \quad du = -\sin z\,dz \;\Longrightarrow\; \sin z\,dz = -\,du,
temos
\int \frac{\sin z}{\cos^2 z}\,dz = \int -\frac{du}{u^2}.

Passo 4

Como
\int -u^{-2}\,du = -\bigl(\frac{u^{-1}}{-1}\bigr) = u^{-1} + C,
segue
\int -\frac{du}{u^2} = \frac{1}{u} + C.
Retornando à variável z, isso é
\frac{1}{\cos z} + C = \operatorname{sec} z + C.

Resposta

\operatorname{sec} z + C

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