Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \operatorname{sec}^{2}x \,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, já que temos um produto x por \operatorname{sec}^{2}x. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes da seguinte forma:
u = x e dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então calculamos
du = dx,
v = \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes à integral indefinida \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx, temos
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\,\tan x - \int \tan x\,dx.
Para \int \tan x\,dx usamos o fato de que
\int \tan x\,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr| + C.
Logo uma antiderivada de x\operatorname{sec}^{2}x é
F(x) = x\,\tan x + \ln\bigl|\cos x\bigr| + C.

Passo 4

Agora avaliamos F(x) de 0 a \pi/4:
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \tfrac{\pi}{4}\,\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) + \ln\!\bigl|\cos\!\tfrac{\pi}{4}\bigr| = \tfrac{\pi}{4}\cdot1 + \ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) = \tfrac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}\ln2,
F(0) = 0\cdot\tan0 + \ln\!\bigl|\cos0\bigr| = 0 + \ln(1) = 0.
Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = F\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) - F(0) = \tfrac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}\ln2.

Resposta

\frac{\pi}{4} \;-\;\frac{1}{2}\ln2.

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