Calcule:
\int \frac{e^{t}}{1+e^{2 t}} d t

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\,dt
e vamos usar o método de substituição, que se baseia em reconhecer parte do integrando como derivada de uma outra expressão.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^{t}, \quad du = e^{t}\,dt.
Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\,dt = \int \frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 3

Reconhecemos que
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr) = \frac{1}{1+u^{2}},
então
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável original t (isto é, substituindo u=e^{t}), fica
\int \frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\,dt = \arctan\bigl(e^{t}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \arctan\bigl(e^{t}\bigr) + C

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