Calcule:
\int_{1}^{2} \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
I=\int_{1}^{2}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{temos a função integranda } \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}=\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}.çã
Ou seja, podemos separar a integral em duas partes: uma com \dfrac{e^{x^{2}}}{x^{2}} (difícil direto) e outra com \dfrac{1}{x^{2}} (fácil). A resolução começa a partir dessa separação.

Passo 2

Separe a integral em duas:
I=\int_{1}^{2}\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}\,dx-\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Calcule a parte fácil:
\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}.
Logo
I=\int_{1}^{2}\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}\,dx-\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora precisamos de uma primitiva para \dfrac{e^{x^{2}}}{x^{2}}. Use um truque de derivação: calcule a derivada de \dfrac{e^{x^{2}}}{x}. Fazendo a derivada explicitamente (produt/quoiente),
\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x^{2}}}{x}\right) =\frac{2x e^{x^{2}}\cdot x - e^{x^{2}}}{x^{2}} =\frac{2x^{2}e^{x^{2}}-e^{x^{2}}}{x^{2}} =2e^{x^{2}}-\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}.
Rearranjando essa identidade obtemos
\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}=2e^{x^{2}}-\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x^{2}}}{x}\right).
Isso é ótimo porque transformou a parcela difícil em algo que envolve \int e^{x^{2}}dx (conhecido em termos de função especial) e uma derivada fácil de integrar.

Passo 4

Integre a identidade do passo anterior:
\int \frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}\,dx =2\int e^{x^{2}}\,dx-\frac{e^{x^{2}}}{x}+C.
Somando com a parte já tratada de -1/ x^{2} (do passo 2), uma primitiva para toda a integranda \dfrac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}} é
F(x)=2\int e^{x^{2}}\,dx-\frac{e^{x^{2}}}{x}+\frac{1}{x}+C.
Agora basta avaliar de 1 a 2.

Passo 5

A integral \int e^{x^{2}}\,dx não tem primitiva elementar, mas é expressa pela função erro imaginária \operatorname{erfi}(x), definida por
\operatorname{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.
Dessa definição segue que
\int e^{x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x)+C.
Substitua na primitiva F(x) e avalie nos limites 1 e 2:
I=\Big[2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x)-\frac{e^{x^{2}}}{x}+\frac{1}{x}\Big]_{1}^{2}.
Isso simplifica para
I=\sqrt{\pi}\big(\operatorname{erfi}(2)-\operatorname{erfi}(1)\big) -\left(\frac{e^{4}}{2}-e\right)+\left(\frac{1}{2}-1\right).
Organizando os termos:
I=\sqrt{\pi}\big(\operatorname{erfi}(2)-\operatorname{erfi}(1)\big)+e-\frac{e^{4}}{2}-\frac{1}{2}.

Passo 6

Comentário didático e alternativa: se você preferir um resultado em série (útil se quiser aproximação sem usar \operatorname{erfi}), expanda e^{x^{2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}. Então
\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-2}}{n!},
e integrando termo a termo em [1,2] obtemos a série convergente
I=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n-1}-1}{n!(2n-1)}.
Essa expressão dá um valor numérico aproximado truncando a soma; é só escolher quantos termos quiser para a precisão desejada.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\pi}\big(\operatorname{erfi}(2)-\operatorname{erfi}(1)\big)+e-\dfrac{e^{4}}{2}-\dfrac{1}{2}

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