Calcule:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
Informações dadas e observações imediatas:
Ou seja, podemos separar a integral em duas partes: uma com
(difícil direto) e outra com
(fácil). A resolução começa a partir dessa separação.
Passo 2
Separe a integral em duas:
Calcule a parte fácil:
Logo
Passo 3
Agora precisamos de uma primitiva para
. Use um truque de derivação: calcule a derivada de
. Fazendo a derivada explicitamente (produt/quoiente),
Rearranjando essa identidade obtemos
Isso é ótimo porque transformou a parcela difícil em algo que envolve
(conhecido em termos de função especial) e uma derivada fácil de integrar.
Passo 4
Integre a identidade do passo anterior:
Somando com a parte já tratada de
(do passo 2), uma primitiva para toda a integranda
é
Agora basta avaliar de
a
.
Passo 5
A integral
não tem primitiva elementar, mas é expressa pela função erro imaginária
, definida por
Dessa definição segue que
Substitua na primitiva
e avalie nos limites
e
:
Isso simplifica para
Organizando os termos:
Passo 6
Comentário didático e alternativa: se você preferir um resultado em série (útil se quiser aproximação sem usar
), expanda
. Então
e integrando termo a termo em
obtemos a série convergente
Essa expressão dá um valor numérico aproximado truncando a soma; é só escolher quantos termos quiser para a precisão desejada.