Calcule:
\int_{0}^{4} \operatorname{cosh} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4}\operatorname{cosh} x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções hiperbólicas. Para resolver, vamos usar a primitiva de \operatorname{cosh} x e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (regra de Barrow) no intervalo de 0 a 4.

Passo 2

Sabemos da teoria de funções hiperbólicas que a derivada de \operatorname{sinh} x é \operatorname{cosh} x. Logo, uma antiderivada de \operatorname{cosh} x é
\int \operatorname{cosh} x\,dx = \operatorname{sinh} x + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos extremos do intervalo:
\int_{0}^{4}\operatorname{cosh} x\,dx = \bigl[\operatorname{sinh} x\bigr]_{0}^{4} = \operatorname{sinh}(4) - \operatorname{sinh}(0).

Passo 4

Como \operatorname{sinh}(0)=0, a expressão fica simplesmente
\operatorname{sinh}(4).
Se quisermos, podemos reescrever \operatorname{sinh}(4) em termos de exponenciais:
\operatorname{sinh}(4) = \frac{e^{4} - e^{-4}}{2}.

Resposta

\operatorname{sinh}(4)
ou equivalentemente \displaystyle \frac{e^{4} - e^{-4}}{2}.

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