Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a integrar é
. (No LaTeX usual usamos , que é equivalente a .) - A variável de integração é
. - Espera-se uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma expressão
tal que . Não esqueça da constante de integração .
Passo 2
Estratégia (sem termos técnicos demais): a expressão dentro do seno é uma função linear de
,
. Quando temos uma função composta assim, o jeito mais prático é fazer uma mudança de variável (substituição) que transforme a integral numa forma simples que a gente já sabe integrar — neste caso numa integral de
de uma variável nova. Vou explicar cada etapa devagar.
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora calculamos
em função de
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Isolando
,
Agora substituímos
e
na integral original. Usando
para ficar no padrão do LaTeX,
Passo 4
Colocamos a constante fora da integral:
Aqui precisamos da fórmula básica de antiderivada:
Explicando rapidinho: a derivada de
é
, então a antiderivada de
é
. A letra
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando essa antiderivada e multiplicando pelo fator constante:
Agora voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza): derivando a resposta encontramos
que é de fato o integrando. Então está correto.
Passo 7
Um exemplo similar e curtinho para fixar:
. Fazendo
,
,
, obtemos
. Método igualzinho.