Calcule.
\int(\sin x-\cos x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int(\sin x - \cos x)^{2}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de função trigonométrica; vamos usar a expansão do quadrado e as identidades \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 e \sin2x=2\sin x\cos x.

Passo 2

Expandindo o quadrado, temos
(\sin x - \cos x)^{2} = \sin^{2}x - 2\sin x\cos x + \cos^{2}x.

Passo 3

Aplicando as identidades \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 e \sin2x=2\sin x\cos x, obtemos
\sin^{2}x - 2\sin x\cos x + \cos^{2}x = 1 - \sin2x.

Passo 4

A integral passa a ser
\int(1 - \sin2x)\,dx = \int 1\,dx \;-\;\int \sin2x\,dx.
Sabendo que \int1\,dx = x e \int \sin2x\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos2x, resulta
\int(1 - \sin2x)\,dx = x - \Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos2x\Bigr) = x + \tfrac{1}{2}\cos2x + C.

Resposta

x + \frac{1}{2}\cos2x + C.

Exercícios relacionados