Calcule.
\int \sin ^{2} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{2}3x\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar a identidade de redução de potência para senos e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}
com \theta=3x. Assim
\sin^{2}3x = \frac{1-\cos 6x}{2},
e a integral vira
\int \sin^{2}3x\,dx = \frac12 \int \bigl(1 - \cos6x\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente. Sabemos que
\int 1\,dx = x, \qquad \int \cos6x\,dx = \frac{1}{6}\sin6x.
Logo
\int \sin^{2}3x\,dx = \frac12\Bigl(x - \frac{1}{6}\sin6x\Bigr) + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{12}\sin6x + C.

Resposta

\frac{x}{2} - \frac{1}{12}\sin6x + C

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