Calcule:
\int_{0}^{3} x \cdot\left(e^{x}+1\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{3} x\,(e^{x}+1)\,dx.
O conteúdo aqui é integração definida, usando a linearidade da integral e, para o termo x\,e^x, a técnica de integração por partes.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos
\int_{0}^{3} x\,(e^{x}+1)\,dx =\int_{0}^{3} x\,e^{x}\,dx \;+\;\int_{0}^{3} x\,dx.

Passo 3

Calculamos a parte mais simples, \displaystyle \int_{0}^{3} x\,dx.
Aplicando a fórmula de potência,
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
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\int_{0}^{3} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{2}}{2}-0 = \frac{9}{2}.

Passo 4

Agora \displaystyle \int_{0}^{3} x\,e^{x}\,dx. Usamos integração por partes:
escolhemos
u = x,\quad dv = e^{x}\,dx
então
du=dx,\quad v=e^{x}.
Pela fórmula \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} = e^{x}(x-1).
Avaliaremos de 0 a 3:
\left[e^{x}(x-1)\right]_{0}^{3} = e^{3}(3-1) \;-\; e^{0}(0-1) = 2\,e^{3} \;-\; (-1) = 2\,e^{3} + 1.

Passo 5

Somando as duas partes, temos
\int_{0}^{3} x\,(e^{x}+1)\,dx = \bigl(2\,e^{3}+1\bigr) \;+\;\frac{9}{2} = 2\,e^{3} \;+\;\frac{1}{1} \;+\;\frac{9}{2} = 2\,e^{3} \;+\;\frac{11}{2}.

Resposta

2\,e^{3} + \frac{11}{2}.

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