Calcule.
\int x \sin x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \sin x^{2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois no integrando aparece x multiplicando uma função de x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo em \int x \sin x^{2}\,dx, obtemos
\int x \sin x^{2}\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{2} = \frac12 \int \sin(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos \sin(u):
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo,
\frac12 \int \sin(u)\,du = -\frac12 \cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original u = x^{2}:
\int x \sin x^{2}\,dx = -\frac12 \cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C

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