Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(g) oint sen z(z-1)^2(z^2+9) d z, |z|=2

Passo 1

Então, vamos resolver a integral de contorno onde . Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados identificando os resíduos das singularidades dentro desse contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função . As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
  1. (singularidade de segunda ordem)
  2. e (singularidades simples)

Passo 3

Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno :
  • está dentro
  • e e estão fora
Então, apenas contribui para a integral.

Passo 4

Como Res(f, 1) = limz to 1 ddz[(z - 1)^2 f(z)] é uma singularidade de segunda ordem, precisamos calcular o resíduo dessa singularidade. A fórmula para o resíduo em uma singularidade de segunda ordem é:
Res(sen z(z-1)^2(z^2+9), 1) = limz to 1 ddz[sen zz^2+9]
Substituindo :

Passo 5

Vamos calcular a derivada:
Agora, avaliamos em ddz[sen zz^2+9] = cos z (z^2 + 9) - sen z (2z)(z^2 + 9)^2 :

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a oint sen z(z-1)^2(z^2+9) , dz = 2pi i cdot 5 cos 1 - sen 150 = 2pi i (5 cos 1 - sen 1)50 = pi i (5 cos 1 - sen 1)25 vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Já que só temos um resíduo:

Resposta

A integral vale .

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