Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(g)
(g)
Passo 1
Então, vamos resolver a integral de contorno onde
. Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados identificando os resíduos das singularidades dentro desse contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função . As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
-
⟹ (singularidade de segunda ordem) -
⟹ e (singularidades simples)
Passo 3
Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno
:
-
⟹ está dentro -
e ⟹ e estão fora
Então, apenas
contribui para a integral.
Passo 4
Como
é uma singularidade de segunda ordem, precisamos calcular o resíduo dessa singularidade. A fórmula para o resíduo em uma singularidade de segunda ordem é:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos calcular a derivada:
Agora, avaliamos em
:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Já que só temos um resíduo:
Resposta
A integral vale .