Calcule as integrais abaixo
\int_{1}^{2} \frac{x}{x^{3}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{3}+1}\,dx.
Informações dadas:
\text{o função integranda: }\frac{x}{x^{3}+1},\qquad\text{intervalo de integração: }[1,2].çãçã
Queremos calcular exatamente esse valor numérico (sem calculadora), apresentando o desenvolvimento passo a passo.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para possibilitar uma decomposição em frações parciais. Note que
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
Isso é uma fatoração padrão da soma de cubos a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) com a=x e b=1. Assim podemos procurar constantes A,B,C tais que
\frac{x}{x^{3}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}.
A ideia é transformar a fração em termos mais simples que sabemos integrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}-x+1)\) obtemos a identidade polinomial \[x = A(x^{2}-x+1) + (Bx+C)(x+1).
Vamos expandir e comparar coeficientes. Expansão:
A x^{2}-A x + A + B x^{2} + B x + C x + C.
Agrupando termos semelhantes:
(A+B)x^{2}+(-A+B+C)x+(A+C).
Essa expressão deve ser igual a x, ou seja, ao polinômio 0\cdot x^{2}+1\cdot x + 0. Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] - A + B + C = 1,\\[4pt] A + C = 0. \end{cases}
Da primeira e terceira equações temos B=-A\] e \(C=-A. Substituindo na segunda:
- A + (-A) + (-A) = 1 \quad\Rightarrow\quad -3A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{3}.
Logo
A=-\tfrac{1}{3},\qquad B=\tfrac{1}{3},\qquad C=\tfrac{1}{3}.]

Passo 4

Substituindo esses valores na decomposição, obtemos
\frac{x}{x^{3}+1} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1} + \frac{1}{3}\cdot\frac{x+1}{x^{2}-x+1}.
É conveniente separar a segunda fração em termos que gerem um logaritmo (derivada do denominador) e um termo do tipo arctan (quando aparecer um quadrado somado a constante). Escrevemos
\frac{x+1}{x^{2}-x+1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x-1}{x^{2}-x+1} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}-x+1},
pois x+1=\tfrac{1}{2}(2x-1)+\tfrac{3}{2} (verifique distribuindo). Então a integral fica
\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{3}+1}\,dx = \int_{1}^{2}\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2x-1}{x^{2}-x+1} + \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}-x+1}\right)dx.
Simplificando constantes:
= \int_{1}^{2}\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1} + \frac{1}{6}\cdot\frac{2x-1}{x^{2}-x+1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}-x+1}\right)dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo.
  1. Para \displaystyle \int \frac{2x-1}{x^{2}-x+1}\,dx note que a derivada de x^{2}-x+1 é 2x-1. Logo
\int \frac{2x-1}{x^{2}-x+1}\,dx = \ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr) + C.
Isto é uma aplicação direta da substituição u=x^{2}-x+1, du=(2x-1)dx.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-x+1}\,dx completamos o quadrado no denominador:
x^{2}-x+1 = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \tfrac{3}{4}.
Então temos uma integral da forma \int \frac{1}{(x-a)^{2}+b^{2}}dx, cuja primitiva é \frac{1}{b}\arctan\!\bigl(\frac{x-a}{b}\bigr). Aqui a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}-x+1}\,dx = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C.
Reunindo com os coeficientes que tínhamos, uma primitiva F(x) da integranda é
F(x) = -\frac{1}{3}\ln|x+1| + \frac{1}{6}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C.
(Verificação rápida dos coeficientes: o termo com \arctan veio de \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{3}}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}.)

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \displaystyle \int_{1}^{2}\frac{x}{x^{3}+1}\,dx = F(2)-F(1).
Calculemos F(2):
x=2:\quad x+1=3,\quad x^{2}-x+1=3,\quad 2x-1=3.
Logo
F(2) = -\frac{1}{3}\ln 3 + \frac{1}{6}\ln 3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right).
Note que \arctan\!\left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}. Assim
F(2) = -\frac{1}{6}\ln 3 + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
Calculemos F(1):
x=1:\quad x+1=2,\quad x^{2}-x+1=1,\quad 2x-1=1.
Logo
F(1) = -\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{6}\ln 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Como \ln 1=0 e \arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}, obtemos
F(1) = -\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{\pi}{6\sqrt{3}}.

Passo 7

Subtraindo:
F(2)-F(1) = \left(-\frac{1}{6}\ln 3 + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}\right) - \left(-\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{\pi}{6\sqrt{3}}\right).
Agrupando termos logarítmicos e os termos com \pi:
= \left(\frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\ln 3\right) + \left(\frac{\pi}{3\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6\sqrt{3}}\right).
Simplificando:
\frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\ln 3 = \frac{1}{6}\bigl(2\ln 2 - \ln 3\bigr) = \frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right),
e
\frac{\pi}{3\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}.
Portanto
\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{3}+1}\,dx = \frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right) + \frac{\pi}{6\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)+\frac{\pi}{6\sqrt{3}}