Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
Queremos calcular exatamente esse valor numérico (sem calculadora), apresentando o desenvolvimento passo a passo.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para possibilitar uma decomposição em frações parciais. Note que
Isso é uma fatoração padrão da soma de cubos
com
e
. Assim podemos procurar constantes
tais que
A ideia é transformar a fração em termos mais simples que sabemos integrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
Vamos expandir e comparar coeficientes. Expansão:
Agrupando termos semelhantes:
Essa expressão deve ser igual a
, ou seja, ao polinômio
. Igualando coeficientes:
Da primeira e terceira equações temos
. Substituindo na segunda:
Logo
Passo 4
Substituindo esses valores na decomposição, obtemos
É conveniente separar a segunda fração em termos que gerem um logaritmo (derivada do denominador) e um termo do tipo arctan (quando aparecer um quadrado somado a constante). Escrevemos
pois
(verifique distribuindo). Então a integral fica
Simplificando constantes:
Passo 5
Agora integramos termo a termo.
- Para
note que a derivada de é . Logo
Isto é uma aplicação direta da substituição
,
.
- Para
completamos o quadrado no denominador:
Então temos uma integral da forma
, cuja primitiva é
. Aqui
e
. Portanto
- Para
.
Reunindo com os coeficientes que tínhamos, uma primitiva
da integranda é
(Verificação rápida dos coeficientes: o termo com
veio de
.)
Passo 6
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
.
Calculemos
:
Logo
Note que
. Assim
Calculemos
:
Logo
Como
e
, obtemos
Passo 7
Subtraindo:
Agrupando termos logarítmicos e os termos com
:
Simplificando:
e
Portanto