Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em R^3 ) que você achar mais conveniente:
integral0^4 integral0^3 integral0^raiz9-x^2 raizx^2+y^2 d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral tripla em integral0^4 integral0^3 integral0^raiz9-x^2 raizx^2+y^2 , dy , dx , dz para resolver:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas espaciais. Para resolver isso, vamos escolher o sistema de coordenadas que facilita os cálculos, que neste caso será o sistema de coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como transformar coordenadas cartesianas para cilíndricas e usar isso para simplificar nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada variável representa. Na integral original:
  • varia de 0 a 4,
  • varia de 0 a 3,
  • varia de 0 a .
Isso descreve uma região no primeiro octante onde , que é um quarto de um cilindro de raio 3 e altura 4.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
  • x = r costheta, y = r sintheta, z = z é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo.
As relações de transformação são:

Passo 4

Na mudança para coordenadas cilíndricas, a integral se transforma e precisamos incluir o Jacobiano dessa transformação, que é integral0^4 integral0^pi2 integral0^3 r cdot r , dr , dtheta , dz = integral0^4 integral0^pi2 integral0^3 r^2 , dr , dtheta , dz . Além disso, a função simplifica para . Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em etapas, começando pela mais interna:
integral0^3 r^2 , dr = [ r^33 ]0^3 = 273 - 0 = 9

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi2 9 , dtheta = 9 [ theta ]0^pi2 = 9 cdot pi2 = 9pi2 :

Passo 7

Por último, integramos em relação a integral0^4 9pi2 , dz = 9pi2 [ z ]0^4 = 9pi2 cdot 4 = 18pi :

Resposta

A integral vale .

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