Calcule as integrais definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações relevantes dadas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
e . - Observação importante (tirada do enunciado): o denominador é
, portanto a função não está definida em , que pertence ao intervalo de integração . Isso indica que temos uma integral imprópria (singularidade interior).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar o integrando dividindo cada termo do numerador por
. Fazer essa simplificação permite ver melhor o comportamento da função e aplicar a regra de potência na integração.
Realizando a divisão termo a termo:
Simplificando as potências temos:
Passo 3
Relembrando a regra de integração que vamos usar (explicação didática):
- Para qualquer
, vale a regra da potência
Aqui cada termo do integrando é uma potência de
(com expoentes
), então podemos integrar termo a termo usando a regra acima. Integrar termo a termo é permitido quando os termos são somados.
Aplicando a regra a cada termo:
- Para
(aqui ):
- Para
(aqui ):
(Expliquei: multiplica-se pela constante
e usa-se
.)
- Para
(aqui ):
Passo 4
Juntando as primitivas dos termos obtemos uma primitiva da função integranda:
Para ficar mais legível, escrevo também em forma fracionária:
Importante: essa
é válida em qualquer intervalo que não contenha
, porque os termos
e
não estão definidos em
. Como
está no intervalo de integração, não se pode aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo sobre
sem tratar a singularidade — ou seja, devemos interpretar a integral como imprópria e verificar convergência.
Passo 5
Tratamento da integral imprópria: como a singularidade está em
, escrevemos a integral como soma de duas integrais impróprias de uma só extremidade:
A integral original converge somente se as duas limites acima existirem e forem finitos.
Usaremos a primitiva
para analisar cada limite (lembrando que
está definida fora de
).
Passo 6
Analisar o comportamento da primitiva
quando
se aproxima de
pelas duas direções.
-
Limite quando
:
Os termos dominantes sãoe . Como tem ordem maior que , o termo domina. Para tem-se e , mas o crescimento de é mais rápido (em valor absoluto) e positivo, logo -
Limite quando
:
Agoraé negativo quando é negativo pequeno, então . Também . Ambos termos vão para e o resultado é
Portanto os dois limites laterais da primitiva em
são divergentes (um vai para
, o outro para
).
Passo 7
Concluir sobre cada integral parcial:
-
Para a integral do lado direito:Tomando
e sabendo que , obtemos Logo a integral do lado direito diverge (vai para). -
Para a integral do lado esquerdo:Tomando
, , então Logo a integral do lado esquerdo também diverge (vai para).
Como pelo menos uma das integrais (na verdade ambas) diverge para
, a integral imprópria original não converge.
Observação didática: não se pode contornar essa divergência usando a primitiva sobre o intervalo inteiro; a presença da singularidade interior obriga a checar os limites laterais. Além disso, mesmo que somando as duas divergências pudesse parecer que alguma “cancela”, na teoria de integrais impróprias a convergência exige que ambas as integrais separadas sejam finitas; a noção de valor principal de Cauchy é outra coisa e não é o que pedem normalmente ao calcular uma integral definida.
Resposta
Diverge (não converge); mais precisamente tende a
.