Calcule as integrais definidas abaixo.
\int_{-1}^{2} \frac{x^{5}+2 x-1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{-1}^{2}\frac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é a função \dfrac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}.
  • Os limites de integração são x=-1 e x=2.
  • Observação importante (tirada do enunciado): o denominador é x^{4}, portanto a função não está definida em x=0, que pertence ao intervalo de integração [-1,2]. Isso indica que temos uma integral imprópria (singularidade interior).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar o integrando dividindo cada termo do numerador por x^{4}. Fazer essa simplificação permite ver melhor o comportamento da função e aplicar a regra de potência na integração.
Realizando a divisão termo a termo:
\frac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}=\frac{x^{5}}{x^{4}}+\frac{2x}{x^{4}}-\frac{1}{x^{4}}.
Simplificando as potências temos:
\frac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}=x+2x^{-3}-x^{-4}.

Passo 3

Relembrando a regra de integração que vamos usar (explicação didática):
  • Para qualquer n\neq -1, vale a regra da potência
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui cada termo do integrando é uma potência de x (com expoentes \,1,-3,-4), então podemos integrar termo a termo usando a regra acima. Integrar termo a termo é permitido quando os termos são somados.
Aplicando a regra a cada termo:
  • Para \int x\,dx (aqui n=1):
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
  • Para \int 2x^{-3}\,dx (aqui n=-3):
\int 2x^{-3}\,dx=2\cdot\frac{x^{-2}}{-2}=-x^{-2}+C.
(Expliquei: multiplica-se pela constante 2 e usa-se \dfrac{x^{-2}}{-2}.)
  • Para \int -x^{-4}\,dx (aqui n=-4):
\int -x^{-4}\,dx=-\frac{x^{-3}}{-3}=\frac{x^{-3}}{3}+C.

Passo 4

Juntando as primitivas dos termos obtemos uma primitiva da função integranda:
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-x^{-2}+\frac{x^{-3}}{3}+C.
Para ficar mais legível, escrevo também em forma fracionária:
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{3x^{3}}+C.
Importante: essa F(x) é válida em qualquer intervalo que não contenha x=0, porque os termos \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{1}{x^{3}} não estão definidos em x=0. Como 0 está no intervalo de integração, não se pode aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo sobre [-1,2] sem tratar a singularidade — ou seja, devemos interpretar a integral como imprópria e verificar convergência.

Passo 5

Tratamento da integral imprópria: como a singularidade está em x=0, escrevemos a integral como soma de duas integrais impróprias de uma só extremidade:
\int_{-1}^{2}\frac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}\,dx =\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\int_{-1}^{-\epsilon}\frac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}\,dx +\lim_{\delta\to 0^{+}}\int_{\delta}^{2}\frac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}\,dx.
A integral original converge somente se as duas limites acima existirem e forem finitos.
Usaremos a primitiva F(x) para analisar cada limite (lembrando que F está definida fora de 0).

Passo 6

Analisar o comportamento da primitiva F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{3x^{3}} quando x se aproxima de 0 pelas duas direções.
  • Limite quando x\to 0^{+}:
    Os termos dominantes são -\dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{1}{3x^{3}}. Como \dfrac{1}{x^{3}} tem ordem maior que \dfrac{1}{x^{2}}, o termo \dfrac{1}{3x^{3}} domina. Para x\to 0^{+} tem-se \dfrac{1}{3x^{3}}\to +\infty e -\dfrac{1}{x^{2}}\to -\infty, mas o crescimento de \dfrac{1}{3x^{3}} é mais rápido (em valor absoluto) e positivo, logo
    \lim_{x\to 0^{+}}F(x)=+\infty.
  • Limite quando x\to 0^{-}:
    Agora x^{3} é negativo quando x é negativo pequeno, então \dfrac{1}{3x^{3}}\to -\infty. Também -\dfrac{1}{x^{2}}\to -\infty. Ambos termos vão para -\infty e o resultado é
    \lim_{x\to 0^{-}}F(x)=-\infty.
Portanto os dois limites laterais da primitiva em 0 são divergentes (um vai para +\infty, o outro para -\infty).

Passo 7

Concluir sobre cada integral parcial:
  • Para a integral do lado direito:
    \int_{\delta}^{2}\frac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}\,dx=F(2)-F(\delta).
    Tomando \delta\to 0^{+} e sabendo que F(\delta)\to +\infty, obtemos
    \lim_{\delta\to 0^{+}}\big(F(2)-F(\delta)\big)=F(2)-(+\infty)=-\infty.
    Logo a integral do lado direito diverge (vai para -\infty).
  • Para a integral do lado esquerdo:
    \int_{-1}^{-\epsilon}\frac{x^{5}+2x-1}{x^{4}}\,dx=F(-\epsilon)-F(-1).
    Tomando \epsilon\to 0^{+}, F(-\epsilon)\to -\infty, então
    \lim_{\epsilon\to 0^{+}}\big(F(-\epsilon)-F(-1)\big)=-\infty - F(-1) = -\infty.
    Logo a integral do lado esquerdo também diverge (vai para -\infty).
Como pelo menos uma das integrais (na verdade ambas) diverge para -\infty, a integral imprópria original não converge.
Observação didática: não se pode contornar essa divergência usando a primitiva sobre o intervalo inteiro; a presença da singularidade interior obriga a checar os limites laterais. Além disso, mesmo que somando as duas divergências pudesse parecer que alguma “cancela”, na teoria de integrais impróprias a convergência exige que ambas as integrais separadas sejam finitas; a noção de valor principal de Cauchy é outra coisa e não é o que pedem normalmente ao calcular uma integral definida.

Resposta

Diverge (não converge); mais precisamente tende a -\infty.