Calcule as integrais dos exercícios 37-42, completando o quadrado e usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int_{2}^{4} \frac{2 d x}{x^{2}-6 x+10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{2}^{4}\frac{2\,dx}{x^{2}-6x+10}
usando o método de completar o quadrado e em seguida reduzir a uma forma-padrão do tipo
\int\frac{du}{u^{2}+1}=\arctan(u)\,.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
x^{2}-6x+10 = x^{2}-6x+9+1 = (x-3)^{2}+1.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = x-3, \qquad dt = dx,
e ajustamos os limites: quando x=2, t=2-3=-1; quando x=4, t=4-3=1. Assim a integral vira
\int_{2}^{4}\frac{2\,dx}{(x-3)^{2}+1} =2\int_{-1}^{1}\frac{dt}{t^{2}+1}.

Passo 4

Reconhecendo a forma-padrão \int \frac{dt}{t^{2}+1}=\arctan(t), temos
2\int_{-1}^{1}\frac{dt}{t^{2}+1} =2\Bigl[\arctan(t)\Bigr]_{-1}^{1} =2\bigl(\arctan(1)-\arctan(-1)\bigr).

Passo 5

Como \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4} e \arctan(-1)=-\tfrac{\pi}{4}, então
2\bigl(\tfrac{\pi}{4}-(-\tfrac{\pi}{4})\bigr) =2\cdot\tfrac{\pi}{2} =\pi.

Resposta

\pi

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