Calcule as integrais dos exercícios 37-42, completando o quadrado e usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int \frac{d t}{\sqrt{-t^{2}+4 t-3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{d t}{\sqrt{-t^{2}+4 t-3}}
usando a técnica de completar o quadrado no radicando e em seguida uma substituição que reduza à forma padrão
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\,.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado em -t^{2}+4t-3. Fatorando -1 temos
-t^{2}+4t-3 = -\bigl(t^{2}-4t+3\bigr).
Dentro do parêntese, note que
t^{2}-4t+3 = \bigl(t^{2}-4t+4\bigr)-1 = (t-2)^{2}-1.
Logo
-t^{2}+4t-3 = -\bigl((t-2)^{2}-1\bigr) = 1 - (t-2)^{2}.

Passo 3

Definimos a substituição
u = t-2, \quad du = dt.
Com isso a integral fica
\int \frac{dt}{\sqrt{1-(t-2)^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}\,.

Passo 4

Usamos a forma-padrão
\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \arcsin(u) + C.
Voltando a variável original t, obtemos
\arcsin(t-2) + C.

Resposta

\arcsin(t-2) + C

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