Calcule as integrais dos exercícios 53-56 separando a fração e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma-padrão.
\int_{0}^{\pi / 4} \frac{1+\operatorname{sen} x}{\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} \frac{1+\sin x}{\cos^2 x}\,dx.
O conteúdo envolve manipular frações de funções trigonométricas e usar integrais-padrão, como \int \operatorname{sec}^2 x\,dx e \int \operatorname{sec} x\tan x\,dx.

Passo 2

Separamos a fração em duas parcelas e reconhecemos funções trigonométricas conhecidas:
\frac{1+\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\tan x.
Logo,
\int_{0}^{\pi/4} \frac{1+\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^2 x\,dx + \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec} x\tan x\,dx.

Passo 3

Usamos as integrais-padrão:
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x + C, \qquad \int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = \operatorname{sec} x + C.
Uma primitiva comum para o integrando é
F(x) = \tan x + \operatorname{sec} x.

Passo 4

Avaliamos F nos limites:
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) + \operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 1 + \sqrt{2}, \quad F(0) = \tan(0) + \operatorname{sec}(0) = 0 + 1 = 1.
Portanto,
\int_{0}^{\pi/4} \frac{1+\sin x}{\cos^2 x}\,dx = F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) - F(0) = (1 + \sqrt{2}) - 1 = \sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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