Calcule as integrais dos exercícios 53-56 separando a fração e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma-padrão.
\int_{0}^{1 / 2} \frac{2-8 x}{1+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1/2}\frac{2-8x}{1+4x^{2}}\,dx
usando decomposição da fração em termos mais simples e, quando necessário, substituição para reduzir a integrais padrão de \arctan e \ln.

Passo 2

Separemos a fração em duas parcelas:
\frac{2-8x}{1+4x^{2}} =\frac{2}{1+4x^{2}} -8\,\frac{x}{1+4x^{2}}.
Logo,
\int_{0}^{1/2}\frac{2-8x}{1+4x^{2}}\,dx =\int_{0}^{1/2}\frac{2}{1+4x^{2}}\,dx -8\int_{0}^{1/2}\frac{x}{1+4x^{2}}\,dx.

Passo 3

Para a primeira integral usamos a fórmula
\int\frac{dx}{1+(2x)^{2}} =\frac{1}{2}\arctan(2x).
Logo,
\int\frac{2}{1+4x^{2}}\,dx =2\cdot\frac{1}{2}\arctan(2x) =\arctan(2x).

Passo 4

Na segunda integral fazemos a substituição
u=1+4x^{2}, \quad du=8x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx=\frac{du}{8}.
Assim,
\int\frac{x}{1+4x^{2}}\,dx =\int\frac{1}{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\ln\bigl|u\bigr| =\frac{1}{8}\ln\bigl(1+4x^{2}\bigr).
Multiplicando por -8 obtemos
-8\int\frac{x}{1+4x^{2}}\,dx =-\ln\bigl(1+4x^{2}\bigr).
Portanto a primitiva geral é
F(x)=\arctan(2x)-\ln\bigl(1+4x^{2}\bigr).

Passo 5

Avaliaremos de 0 a 1/2:
F\bigl(1/2\bigr) =\arctan(1)-\ln\bigl(1+4\cdot(1/2)^{2}\bigr) =\frac{\pi}{4}-\ln(2),
F(0)=\arctan(0)-\ln(1)=0.
Logo o valor da integral é
F\bigl(1/2\bigr)-F(0) =\frac{\pi}{4}-\ln(2).

Resposta

\int_{0}^{1/2}\frac{2-8x}{1+4x^{2}}\,dx =\frac{\pi}{4}-\ln(2).

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