Calcule as integrais impróprias:
f)
f)
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde a região
é o círculo de raio 1 definido por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para regiões circulares. Precisaremos também lembrar de algumas propriedades dos logaritmos e do cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. Sabemos que:
Isso facilita nossa vida porque agora temos uma expressão mais simples para trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares:
A região
em coordenadas polares fica
e
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando a expressão de
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Para isso, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Agora, avaliamos de
a
:
Para
:
Para
:
Então, a integral interna é
.
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.