Calcule as integrais impróprias:
f) integral duplaD ln raizx^2+y^2 d x d y, D: x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD ln raizx^2+y^2 , dx , dy, onde a região D é o círculo de raio 1 definido por x^2+y^2 <= 1. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para regiões circulares. Precisaremos também lembrar de algumas propriedades dos logaritmos e do cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. Sabemos que:
ln raizx^2+y^2 = 12 ln(x^2+y^2)
Isso facilita nossa vida porque agora temos uma expressão mais simples para trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares:
x = r cos theta y = r sin theta dx , dy = r , dr , dtheta
A região D em coordenadas polares fica 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaD ln raizx^2+y^2 , dx , dy = integral0^2pi integral0^1 12 ln(r^2) cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão de ln(r^2):
ln(r^2) = 2 ln r 12 ln(r^2) = ln r
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 ln r cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em r:
integral0^1 r ln r , dr
Para isso, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
u = ln r Rightarrow du = 1r , dr dv = r , dr Rightarrow v = r^22

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
integral r ln r , dr = u v - integral v , du = ln r cdot r^22 - integral r^22 cdot 1r , dr
Simplificando a integral restante:
r^2 ln r2 - 12 integral r , dr = r^2 ln r2 - r^24
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para r = 1:
1^2 ln 12 - 1^24 = 0 - 14 = -14
Para r = 0:
limr to 0 r^2 ln r2 = 0 e limr to 0 r^24 = 0
Então, a integral interna é -14.

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi ( -14 ) dtheta = -14 cdot (2pi) = -pi2

Resposta

O valor da integral é -dfracpi2.

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