Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: integral0^infty 2 x e^-x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria . Esse tipo de integral envolve limites infinitos e usamos técnicas de substituição para resolver. Precisaremos aplicar a substituição adequada e conhecer propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, observamos a função dentro da integral: . Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Essa escolha ajuda a lidar com o termo exponencial.

Passo 3

Agora, derivamos dudx = -2x Rightarrow du = -2x dx em relação a :
Isso nos permite substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral0^infty 2x e^-x^2 dx = integral0^infty e^u (-du) = -integral0^infty e^u du
Mas precisamos ajustar os limites de integração para a variável .

Passo 5

Quando -integral0^-infty e^u du = integral-infty^0 e^u du , .
Quando , .
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral . A antiderivada de é .

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
e^u g|-infty^0 = e^0 - limu to -infty e^u = 1 - 0 = 1

Resposta

O valor da integral imprópria é 1.

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