Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{A}{\sqrt{u}} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{A}{\sqrt{u}}\,du,
onde A é constante em relação à variável de integração u. Informações dadas:
  • A variável de integração é u.
  • A é uma constante (não depende de u).
  • Deve ser adicionada uma constante de integração C ao final.
  • Para a raiz quadrada real, assume-se u>0 (isso garante \sqrt{u} real).

Passo 2

Transformar a integranda para aplicar a regra de potência. Lembre que
\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}},
então
\frac{A}{\sqrt{u}}=A\,u^{-\frac{1}{2}}.
A regra de potência para integrais diz que, para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, que não é -1, portanto a regra vale. (Intuição rápida: essa fórmula vem de inverter a derivada de u^{n+1}, pois \frac{d}{du}\bigl(u^{n+1}\bigr)=(n+1)u^{n}.)

Passo 3

Aplicar a regra com n=-\tfrac{1}{2}. Primeiro calcule n+1:
n+1=-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}.
Agora faça a integral:
\int A\,u^{-\frac{1}{2}}\,du = A\int u^{-\frac{1}{2}}\,du = A\cdot\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\tfrac{1}{2}+1}+C = A\cdot\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}}+C.
Dividir por \tfrac{1}{2} é multiplicar por 2, logo
A\cdot\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}}=2A\,u^{\frac{1}{2}}=2A\sqrt{u}.

Passo 4

Verificação rápida (checar diferenciando): calcule \dfrac{d}{du}\bigl(2A u^{\frac{1}{2}}\bigr)=2A\cdot\tfrac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=A u^{-\frac{1}{2}}=A/\sqrt{u}, que é a integranda original. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

2A\sqrt{u}+C