Calcule as integrais indefinidas abaixo:
  1. \int e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{2x}\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é e^{2x}. Como é integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração, normalmente denotada por C.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão no expoente para integrar de forma direta. Uma técnica simples é a substituição. Defina
u = 2x.
Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2\,dx.
Isolando dx temos
dx = \frac{du}{2}.
A ideia da substituição é trocar a variável de integração x por u para transformar a integral em uma forma mais simples. Isso é válido porque estamos apenas reescrevendo a mesma integral usando uma nova variável.

Passo 3

Substituindo u e dx na integral:
\int e^{2x}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{du}{2}.
Colocando o 1/2 fora da integral (pois é constante em relação a u):
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du.
Agora use a regra básica de integração da exponencial: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}, porque a derivada de e^{u} é e^{u}. Portanto,
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Logo
\frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C.

Passo 4

Retornando para a variável original x substituindo u=2x:
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Passo 5

Verificação (boa prática na prova): derive o resultado para confirmar que volta ao integrando. Diferenciando \dfrac{1}{2}e^{2x}+C usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) = \frac{1}{2}\cdot e^{2x}\cdot 2 = e^{2x},
que é exatamente o integrando. Certo!

Passo 6

Regra geral útil para a prova: para constante a\neq 0,
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C.
Exemplo rápido extra: \displaystyle \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}+C.

Resposta

\dfrac{1}{2}e^{2x}+C