Calcule as integrais indefinidas abaixo:
-
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a ser integrada é
. Como é integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração, normalmente denotada por
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão no expoente para integrar de forma direta. Uma técnica simples é a substituição. Defina
Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
A ideia da substituição é trocar a variável de integração
por
para transformar a integral em uma forma mais simples. Isso é válido porque estamos apenas reescrevendo a mesma integral usando uma nova variável.
Passo 3
Substituindo
e
na integral:
Colocando o
fora da integral (pois é constante em relação a
):
Agora use a regra básica de integração da exponencial: a primitiva de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
. Portanto,
Logo
Passo 4
Retornando para a variável original
substituindo
:
Passo 5
Verificação (boa prática na prova): derive o resultado para confirmar que volta ao integrando. Diferenciando
usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Certo!
Passo 6
Regra geral útil para a prova: para constante
,
Exemplo rápido extra:
.