Calcule as integrais indefinidas: integral 11-6 x+9 x^2 d x Resposta: 13(1-3 x)+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de decomposição de frações ou substituição. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e aplicar uma substituição simples.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador 9x^2 - 6x + 1. Nosso objetivo é fatorar essa expressão para simplificar a fração. Perceba que podemos reescrever os termos em ordem decrescente de potência:

Passo 3

Agora, vamos tentar fatorar 9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 cdot 3x cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2 . Observamos que:
1 - 6x + 9x^2 = (1 - 3x)^2
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 1(1 - 3x)^2 , dx
Agora, vamos usar a substituição para facilitar a integração. Vamos deixar .

Passo 5

Computando a derivada de dudx = -3 Rightarrow du = -3 , dx Rightarrow dx = -du3 em relação a :

Passo 6

Substituindo integral 1u^2 cdot (-du3) = -13 integral 1u^2 , du e na integral:

Passo 7

A integral de integral 1u^2 , du = -1u + C em relação a -13 integral 1u^2 , du = -13 (-1u) + C = 13u + C é:
Portanto,

Passo 8

Agora, voltamos à variável original 13u + C = 13(1 - 3x) + C :

Resposta

A integral indefinida é .

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