Calcule as integrais indefinidas: integral(2 e^t-sen tcos ^2 t+2t^7) d t Resposta: 2 e^t-sec t-13 t^6+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . O conteúdo aqui envolve técnicas de integração para funções exponenciais, trigonométricas e racionais. Vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para cada tipo de função presente na expressão.

Passo 2

Vamos começar integrando o primeiro termo, integral 2 e^t , d t = 2 e^t . Sabemos que a integral de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo termo, integral -sen tcos ^2 t , d t = -sec t . Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que é igual a . A integral de é . Portanto:

Passo 4

Por último, vamos integrar o terceiro termo, integral 2t^7 , d t = 2 integral t^-7 , d t = 2 ( t^-6-6 ) = -26 t^6 = -13 t^6 . Podemos reescrever isso como . A regra para integrar é , desde que . Aplicando isso:

Resposta

Juntando todas as integrais, a solução final é:
2 e^t - sec t - 13 t^6 + C
onde é a constante de integração.

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