Calcule as integrais: integral d traiz-t^2+4 t-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral envolve funções quadráticas dentro de uma raiz, então vamos precisar usar o método de completar o quadrado para simplificar a expressão dentro da raiz antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão -t^2 + 4t - 3 = -(t^2 - 4t) - 3 . Para isso, vamos reescrever a expressão:
t^2 - 4t = (t - 2)^2 - 4
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
-(t^2 - 4t) - 3 = -[(t - 2)^2 - 4] - 3 = -(t - 2)^2 + 4 - 3 = -(t - 2)^2 + 1
Então, substituindo de volta:
Agora, a expressão dentro da raiz ficou .

Passo 3

Vamos simplificar a integral usando a expressão que obtivemos:
integral dtraiz-(t - 2)^2 + 1 = integral dtraiz1 - (t - 2)^2
Essa forma se assemelha à integral padrão de , onde .

Passo 4

Agora, aplicamos a integral padrão:
integral dtraiz1 - (t - 2)^2 = arcsin(t - 2) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral arcsin(t - 2) + C é igual a:

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