Calcule as integrais
integral-pi / 2^pi / 2(sin ^3 x cos x+sin x cos x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de até . Isso está na área de Cálculo, especificamente no cálculo de integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral-pi2^pi2 sin^3 x cos x , dx + integral-pi2^pi2 sin x cos x , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral u^3 , du = u^44 + C = sin^4 x4 + C .
Aqui, usamos a substituição. Seja sin^4 x4 |-pi2^pi2 = sin^4 ( pi2 )4 - sin^4 ( -pi2 )4 = 14 - 14 = 0 , então . A integral fica:
Agora, aplicamos os limites de integração:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral u , du = u^22 + C = sin^2 x2 + C .
Novamente, usamos substituição. Seja sin^2 x2 |-pi2^pi2 = sin^2 ( pi2 )2 - sin^2 ( -pi2 )2 = 12 - 12 = 0 , então . A integral fica:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral total é igual a 0.

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