Calcule as integrais:
integral sec ^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de sec^4(x) dx. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo identidades trigonométricas e técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar a identidade que relaciona sec^2(x) com tan^2(x) e fazer uma substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sec^4(x) de uma forma que facilite a integral. Sabemos que sec^4(x) = (sec^2(x))^2. Usando a identidade trigonométrica sec^2(x) = 1 + tan^2(x), podemos substituir:
sec^4(x) = (sec^2(x))^2 = (1 + tan^2(x))^2

Passo 3

Agora, expandimos (1 + tan^2(x))^2:
(1 + tan^2(x))^2 = 1 + 2tan^2(x) + tan^4(x)
Então, a integral fica:
integral sec^4(x) dx = integral (1 + 2tan^2(x) + tan^4(x)) dx

Passo 4

Mas essa forma ainda é um pouco complicada. Vamos simplificar de outra maneira. Observamos que:
sec^4(x) = sec^2(x) cdot sec^2(x) = sec^2(x) cdot (1 + tan^2(x))
Então, a integral fica:
integral sec^4(x) dx = integral sec^2(x) (1 + tan^2(x)) dx

Passo 5

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
u = tan(x) du = sec^2(x) dx
Isso simplifica a integral para:
integral (1 + u^2) du

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral 1 du + integral u^2 du = u + u^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos u de volta por tan(x):
u + u^33 + C = tan(x) + tan^3(x)3 + C

Resposta

Portanto, a integral de sec^4(x) dx é:
integral sec^4(x) dx = tan(x) + tan^3(x)3 + C

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