Calcule as integrais
integral1^3 x^2+4x^3 d x integral0^3(3 x+2)(x-5) d x

Passo 1

Vamos resolver duas integrais definidas:
  1. integral1^3 x^2+4x^3 , dx
  2. integral0^3(3x + 2)(x - 5) , dx
Para resolver essas integrais, vamos usar técnicas de simplificação de expressões algébricas e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeira Integral:
Começamos simplificando a expressão dentro da integral:
x^2+4x^3 = x^2x^3 + 4x^3 = x^-1 + 4x^-3

Passo 3

Agora, integramos cada termo separadamente. Lembrando que a integral de x^n é x^n+1n+1, desde que n neq -1.
Então,
integral x^-1 , dx = ln|x| + C
e
integral 4x^-3 , dx = 4 cdot x^-2-2 = -2x^-2 + C

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 1 a 3 para a primeira integral:
integral1^3 ( x^-1 + 4x^-3 ) dx = [ ln|x| - 2x^-2 ]1^3
Calculando em 3:
ln(3) - 2 cdot 13^2 = ln(3) - 29
Calculando em 1:
ln(1) - 2 cdot 11^2 = 0 - 2 = -2
Subtraindo:
( ln(3) - 29 ) - (-2) = ln(3) - 29 + 2 = ln(3) + 169

Passo 5

Segunda Integral:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
(3x + 2)(x - 5) = 3x cdot x + 3x cdot (-5) + 2 cdot x + 2 cdot (-5) = 3x^2 - 15x + 2x - 10 = 3x^2 - 13x - 10

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 3x^2 , dx = x^3
integral -13x , dx = -132x^2
integral -10 , dx = -10x
Então,
integral (3x^2 - 13x - 10) , dx = x^3 - 132x^2 - 10x + C

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 3 para a segunda integral:
[ x^3 - 132x^2 - 10x ]0^3
Calculando em 3:
3^3 - 132 cdot 3^2 - 10 cdot 3 = 27 - 132 cdot 9 - 30 = 27 - 1172 - 30 = 27 - 58.5 - 30 = -61.5
Calculando em 0:
0 - 0 - 0 = 0
Subtraindo:
-61.5 - 0 = -61.5 = -1232

Resposta

  1. integral1^3 x^2+4x^3 , dx = ln(3) + 169
  2. integral0^3(3x + 2)(x - 5) , dx = -1232

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