Calcule as integrais de linha onde
é a curva dada:
, onde
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha de
ao longo da curva
, onde
é definida por
,
e
para
variando de
a
. Vamos precisar de noções de cálculo de integrais de linha, parametrizações de curvas e como calcular o elemento de arco
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a integral de linha
calcula a soma de
ao longo da curva
, ponderada pelo comprimento da curva. Aqui,
.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
usando o parâmetro
. Já temos as equações paramétricas:
Passo 4
O próximo passo é encontrar a expressão para
, que representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. A fórmula para
em termos de
é:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 5
Substituindo as derivadas na expressão de
:
Simplificando dentro da raiz:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, podemos montar a integral de linha:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A integral de linha vale
.