Calcule as integrais de linha onde C é a curva dada:
integralC(x^2+y^2+z^2) d s, onde C: x=t, y=cos (2 t), z=sen(2 t) para 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha de ao longo da curva , onde é definida por , e para variando de a . Vamos precisar de noções de cálculo de integrais de linha, parametrizações de curvas e como calcular o elemento de arco .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a integral de linha calcula a soma de ao longo da curva , ponderada pelo comprimento da curva. Aqui, .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva x = t, y = cos(2t), z = sin(2t), 0 <= t <= 2pi usando o parâmetro . Já temos as equações paramétricas:

Passo 4

O próximo passo é encontrar a expressão para ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , que representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. A fórmula para dxdt = 1, dydt = -2sin(2t), dzdt = 2cos(2t) em termos de é:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 5

Substituindo as derivadas na expressão de ds = raiz1^2 + (-2sin(2t))^2 + (2cos(2t))^2 , dt = raiz1 + 4sin^2(2t) + 4cos^2(2t) :
raiz1 + 4(sin^2(2t) + cos^2(2t)) = raiz1 + 4(1) = raiz5 = raiz5
Simplificando dentro da raiz:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos expressar f(t) = t^2 + cos^2(2t) + sin^2(2t) em termos de f(t) = t^2 + 1 :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, podemos montar a integral de linha:
integralC (x^2 + y^2 + z^2) , ds = integral0^2pi (t^2 + 1) cdot raiz5 , dt = raiz5 integral0^2pi (t^2 + 1) , dt

Passo 8

Vamos calcular a integral:
raiz5 integral0^2pi (t^2 + 1) , dt = raiz5 [ integral0^2pi t^2 , dt + integral0^2pi 1 , dt ]
Calculando cada parte:
integral0^2pi t^2 , dt = [ t^33 ]0^2pi = (2pi)^33 = 8pi^33
integral0^2pi 1 , dt = [t]0^2pi = 2pi
Então:
raiz5 ( 8pi^33 + 2pi ) = raiz5 ( 8pi^3 + 6pi3 ) = raiz53 (8pi^3 + 6pi)

Resposta

A integral de linha vale .

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