Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Precisa-se do antiderivado (integral indefinida), portanto o resultado virá com uma constante de integração.
Passo 2
Ideia da técnica que vamos usar (explicação didática curta sobre substituição/chain rule): quando temos uma função composta
, uma forma padrão é usar a substituição
. Isso funciona porque a regra da cadeia para derivação diz que
Invertendo a ideia, se a integral tiver exatamente o fator
multiplicando
, então a primitiva é
. Se esse fator não aparecer explicitamente, podemos fazer substituição para ajustar. Aqui isso é bem simples.
Passo 3
Fazemos a substituição apropriada. Defina
Então diferencie ambos os lados para relacionar
e
:
Passo 4
Substitua na integral original: trocando
por
e
por
, obtemos
Passo 5
Agora integramos
em relação a
. Sabemos que
portanto
Voltando à variável original
(ou seja, substituindo
), o resultado é
Aqui
é a constante de integração, que sempre aparece em integrais indefinidas porque primitiva não é única (pode-se somar qualquer constante).
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtido, deve voltar ao integrando:
logo está correto.