Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int \cos (9 y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos(9y)\,dy.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \cos(9y).
  • A variável de integração é y.
  • Precisa-se do antiderivado (integral indefinida), portanto o resultado virá com uma constante de integração.

Passo 2

Ideia da técnica que vamos usar (explicação didática curta sobre substituição/chain rule): quando temos uma função composta \cos(g(y)), uma forma padrão é usar a substituição \,u=g(y)\,. Isso funciona porque a regra da cadeia para derivação diz que
\frac{d}{dy}\big(\sin(g(y))\big)=\cos(g(y))\cdot g'(y).
Invertendo a ideia, se a integral tiver exatamente o fator g'(y) multiplicando \cos(g(y)), então a primitiva é \sin(g(y)). Se esse fator não aparecer explicitamente, podemos fazer substituição para ajustar. Aqui isso é bem simples.

Passo 3

Fazemos a substituição apropriada. Defina
u = 9y.
Então diferencie ambos os lados para relacionar du e dy:
du = 9\,dy \quad\Rightarrow\quad dy = \frac{du}{9}.

Passo 4

Substitua na integral original: trocando 9y por u e dy por \dfrac{du}{9}, obtemos
\int \cos(9y)\,dy = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{9} = \frac{1}{9}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos \cos(u) em relação a u. Sabemos que
\frac{d}{du}\big(\sin(u)\big)=\cos(u),
portanto
\int \cos(u)\,du = \sin(u)+C.
Voltando à variável original y (ou seja, substituindo u=9y), o resultado é
\frac{1}{9}\sin(u)+C=\frac{1}{9}\sin(9y)+C.
Aqui C é a constante de integração, que sempre aparece em integrais indefinidas porque primitiva não é única (pode-se somar qualquer constante).

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtido, deve voltar ao integrando:
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{9}\sin(9y)+C\right)=\frac{1}{9}\cos(9y)\cdot 9=\cos(9y),
logo está correto.

Resposta

\dfrac{1}{9}\sin(9y)+C