Calcule as integrais triplas para o sólido limitado pelos objetos listados abaixo e para a apontada:
(1.8) elipsóide
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado nos pede para calcular a integral onde é o sólido delimitado pelo elipsóide e a função . Vamos usar coordenadas esféricas adaptadas ao elipsóide para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o elipsóide. A equação descreve um elipsóide com semieixos , e nas direções , e , respectivamente. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforme esse elipsóide em uma esfera unitária.
Passo 3
Vamos definir uma mudança de variável:
Com isso, a equação do elipsóide se transforma em:
Agora, é a esfera unitária .
Passo 4
Precisamos também calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função f(x, y, z) = ((6u)^2 + 94(4v)^2 + 94(4w)^2)^32 = (36u^2 + 36v^2 + 36w^2)^32 = (36(u^2 + v^2 + w^2))^32 em termos das novas variáveis f(x, y, z) = (36 times 1)^32 = 36^32 = 6^3 = 216 :
Como na esfera unitária, temos:
Passo 6
Com a função transformada e o Jacobiano calculado, a integral original se transforma em:
integral triplaU f(x, y, z) , dx , dy , dz = integral triplaU' 216 times 96 , du , dv , dw = 216 times 96 times Volume da esfera unitária á
Sabemos que o volume da esfera unitária é integral triplaU f(x, y, z) , dx , dy , dz = 216 times 96 times 43pi = 27648pi , então: