Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.8) elipsóide x^236+y^216+z^216=1 ; f(x, y, z)=(x^2+94 y^2+94 z^2)^32

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado nos pede para calcular a integral onde é o sólido delimitado pelo elipsóide e a função . Vamos usar coordenadas esféricas adaptadas ao elipsóide para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o elipsóide. A equação descreve um elipsóide com semieixos , e nas direções , e , respectivamente. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforme esse elipsóide em uma esfera unitária.

Passo 3

Vamos definir uma mudança de variável:
x = 6u, y = 4v, z = 4w
Com isso, a equação do elipsóide se transforma em:
(6u)^236 + (4v)^216 + (4w)^216 = u^2 + v^2 + w^2 = 1
Agora, é a esfera unitária .

Passo 4

Precisamos também calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 6 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4 = 6 times 4 times 4 = 96 é o determinante da matriz das derivadas parciais:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função f(x, y, z) = ((6u)^2 + 94(4v)^2 + 94(4w)^2)^32 = (36u^2 + 36v^2 + 36w^2)^32 = (36(u^2 + v^2 + w^2))^32 em termos das novas variáveis f(x, y, z) = (36 times 1)^32 = 36^32 = 6^3 = 216 :
Como na esfera unitária, temos:

Passo 6

Com a função transformada e o Jacobiano calculado, a integral original se transforma em:
integral triplaU f(x, y, z) , dx , dy , dz = integral triplaU' 216 times 96 , du , dv , dw = 216 times 96 times Volume da esfera unitária á
Sabemos que o volume da esfera unitária é integral triplaU f(x, y, z) , dx , dy , dz = 216 times 96 times 43pi = 27648pi , então:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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