Calcule a integral definida:
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral definida de uma função vetorial de
no intervalo de
a
. A função vetorial é
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais de funções vetoriais e entender o conceito de integração componente a componente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função vetorial é calculada integrando cada componente da função separadamente. Ou seja,
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira componente:
. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Seja
, então
. Quando
,
; quando
,
. Substituindo, a integral fica:
Integrando:
Então, avaliando de 0 a 6:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos integrar a segunda componente:
. Fazemos uma substituição semelhante. Seja
, então
. Quando
,
; quando
,
. Então, a integral fica:
Integrando:
Avaliando de 0 a 6:
Passo 5
Por último, vamos integrar a terceira componente:
. Essa é uma integral simples:
Resposta
A integral definida é igual ao vetor: