Calcule a integral dupla
integral duplaD d A
onde D é a região triangular com vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
integral duplaD dA
sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . O conteúdo da matéria aqui envolve integrais duplas e cálculo de áreas. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração adequados para a região triangular e então calcular a integral.

Passo 2

Vamos visualizar a região . Os vértices formam um triângulo no primeiro quadrante. Para definir os limites de integração, podemos integrar primeiro em , para cada valor de entre 0 e 1.
Observando o triângulo:
  • Para fixo entre 0 e 1, varia de 0 até a linha que vai de a , que é .
Então, os limites de integração são:
  • de 0 a 1
  • de 0 a

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
integral duplaD dA = integral0^1 integral0^x dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^x dy = y |0^x = x - 0 = x :
integral0^1 x , dx
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, integramos em relação a integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12 - 0 = 12 :

Resposta

A integral dupla vale .

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